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Conociendo dos datos de una Galaxia, Distancia, Tamaño o Ángulo Visual, permite calcular el tercero.

Creada01-11-2016
Modificada01-04-2019
Total Visitas102
Abril3

Calculadora de Paralaje Esférico

Paralaje Esférico

Radio de la Esfera Mal

Distancia al Ecuador nn Mal

Calcular Tamaño

Distancia 

Mal

Ángulo Visual


= nn

Tamaño

nn

En un Universo Plano mediría nn

Calcular Ángulo Visual

Tamaño

Mal

Distancia

Mal

Ángulo Visual

nn

En un Universo Plano se vería con un ángulo de nn

Calcular Distancia

Tamaño

Mal

Ángulo Visual


= nn

Distancia

nn

En un Universo Plano estaría a nn

Los astrónomos observan las galaxias e intentan averiguar todo lo que pueden sobre ellas.

Lo primero y más evidente, qué tamaño tienen y a qué distancia están.

A través de un telescopio son muy pocos los datos que se captan pero uno de esos datos puede serles muy útil. ¿Con qué ángulo se ve?

El ángulo visual con el que vemos una galaxia es muy pequeño. Salvo nuestra vecina Andrómeda, que se ve casi tan grande como la Luna, las demás galaxias se ven muy pequeñas con un ángulo visual de minutos o aún menos, de unos pocos segundos de arco.

Para que sirva de referencia, un minuto de arco es el tamaño de un Euro a 80 m de distancia. Un segundo de arco es el tamaño de un Euro a 4'9 Km.

Si medimos el Ángulo con el que vemos una galaxia, y por otros medios podemos conocer a qué distancia se encuentra, podremos calcular su tamaño real.

Pero hay que tener en cuenta un dato muy importante

El Universo no es plano.

La Tierra es una Esfera

Siempre que trabajamos en un terreno y tenemos que solucionar problemas geométricos utilizamos la Trigonometría del Plano.

Pero lo cierto es que vivimos en la superficie esférica de un planeta y para algunas situaciones y problemas tenemos que recurrir a la Geometría y la Trigonometría Esféricas.

Los marinos y los aviadores saben que la distancia más corta entre dos puntos geográficos de la Tierra no siempre son evidentes. Poca gente se da cuenta de que para viajar por la distancia más corta de Madrid a Nueva York, ambas en el paralelo 40, NO HAY que viajar por el paralelo 40.

Podéis comprobarlo fácilmente cogiendo un globo terráqueo y un hilo. Tended el hilo entre las dos ciudades y atirantadlo. El hilo no se ajustará al paralelo 40, sino que ascenderá casi hasta el paralelo 70 para luego descender de nuevo al 40.

ESA es la distancia más corta.

O un ejemplo bastante sorprendente. Imagina que tienes un objeto de 1.000 Km de largo, lo colocas paralelo al ecuador y trazas dos líneas rectas desde el Polo Norte hasta sus dos extremos (por la superficie terrestre, claro). Conforme el objeto se va alejando, el ángulo entre las líneas se va reduciendo, cosa perfectamente normal.

Hasta llegar al ecuador.

A partir del Ecuador, el ángulo entre las dos líneas irá aumentando y seguirá haciéndolo hasta que el objeto llegue al Polo Sur, momento en el cual el ángulo  será de 180º.

La verdad, esto es simplemente un ejemplo y no tiene una importancia relevante, ya que es muy poco probable que tengamos que resolver un problema  parecido, pero cuando se trata de la observación de las galaxias por medio de los telescopios, esta diferencia se convierte en MUY importante.

El Universo es una Hiperesfera

Los astrónomos y estudiosos del Cosmos siempre han considerado que el Universo está contenido en un espacio de tres dimensiones y que los problemas astronómicos pueden resolverse usando las fórmulas y ecuaciones de la Trigonometría del Plano.

Todos no. Algunos han contemplado la posibilidad de que el Universo no es plano, sino que está curvado, tal como la superficie de la Tierra. Según ellos, si viajáramos en línea recta en cualquier dirección, Norte, Sur, Este, Oeste, Arriba o Abajo, llegaríamos a las antípodas del Universo y si siguiéramos en la misma línea recta volveríamos al punto de partida pero desde la dirección opuesta a la que partimos.

Es una curvatura muy débil, tanto como la de una baldosa de nuestra cocina comparada con la de la Tierra. En mediciones pequeñas, del tamaño de nuestra cocina, nuestra casa o incluso nuestra ciudad o municipio, la curvatura es inapreciable. Pero si trazamos el mapa de nuestro país, nuestro continente o del planeta completo, la geometría plana no funciona. En un mapa de España la distancia entre dos meridianos es más corta en el Norte que en el Sur.

En el Universo ocurre lo mismo. No es plano, sino que tiene una curvatura. Y para resolver ciertos problemas astronómicos deberíamos usar las fórmulas y ecuaciones de la Trigonometría Esférica.

A pequeñas distancias, hasta unos 100 Mal, la diferencia es muy poca, pero a distancias mayores la diferencia es cada vez más importante.

En una serie de artículos que podéis encontrar en esta sección, La Teoría de la Gran Onda, podéis ver varias de las consecuencias de que el Universo no sea plano, sino que sea la Hipersuferficie 3D de una Hiperesfera 4D.

En este artículo en especial me centro en la relación entre el Tamaño, la Distancia y el Ángulo Visual con el que vemos las galaxias a través de nuestros telescopios.

Y las consecuencias astronómicas de vivir en un Universo curvo son extraordinarias, sorprendentes, casi increíbles, pero lógicas y demostrables.

Fórmulas de Trigonometría Esférica

Con el fin de ayudar en la navegación por Mar y Aire, los matemáticos han desarrollado la Trigonometría Esférica. Con sus numerosas fórmulas se pueden calcular con facilidad distancias entre puertos y aeropuertos y calcular los rumbos más cortos entre dos ciudades cualesquiera del planeta.

Pero la utilidad que yo quería conseguir era otra muy distinta.

Triángulo Esférico

Cuando a través del telescopio observamos una galaxia, la veremos con un Ángulo determinado.

La galaxia tiene un Tamaño y está a una Distancia determinadas.

A partir de conocer DOS de estos datos, se trata de calcular el tercero.

Para resolverlo he buscado en varios manuales de trigonometría esférica, pero aparte de distancias, rumbos y problemas de superficies, no he encontrado ninguna fórmula específica orientada a este problema en particular. No me quedó otra solución que coger una fórmula que incorporara estos tres datos y desarrollarla y despejar variables para encontrar las tres fórmulas necesarias.

La solución me la dio un Manual de Trigonometría Esférica de la Universidad Politécnica de Madrid. En la página 33 encontré 4 fórmulas trigonométricas que se aplican en todo triángulo isósceles esférico.

Elegí la que me pareció más sencilla y adecuada:

sen(a/2) = sen(b) · sen(A/2)

Sólo tenía que sustituir las variables correspondientes por las tres que necesito, Ángulo, Distancia y Tamaño.

Una precisión, en trigonometría esférica, la Distancia y el Tamaño no se deben usar como longitudes lineales, sino como longitudes angulares. Hay que convertir D y T en ángulo. Afortunadamente eso es muy sencillo, sólo hay que dividir ambas longitudes entre el Radio de la esfera y el resultado será el ángulo en radianes. Que es precisamente lo que necesito.

Una vez hechas las sustituciones correspondientes conseguí la fórmula:

sen(T/2R) = sen(D/R) · sen(A/2)

Y a partir de ella pude desarrollar las tres fórmulas que necesitaba.

Desarrollo de la fórmula de la Distancia.

sen(T/2R) = sen(D/R) · sen(A/2)

sen(D/R) = sen(T/2R) / sen(A/2)

D/R = arcsen(sen(T/2R) / sen(A/2))

D = R · arcsen(sen(T/2R) / sen(A/2))

Desarrollo de la fórmula del Tamaño.

sen(T/2R) = sen(D/R) · sen(A/2)

T/2R = arcsen(sen(D/R) · sen(A/2))

T = 2R · arcsen(sen(D/R) · sen(A/2))

Desarrollo de la fórmula del Ángulo.

sen(T/2R) = sen(D/R) · sen(A/2)

sen(A/2) = sen(T/2R) / sen(D/R)

A/2 = arcsen(sen(T/2R) / sen(D/R))

A = 2 · arcsen(sen(T/2R) / sen(D/R))

Unos Sorprendentes Resultados

Mi primer objetivo al programar esta calculadora en Octubre de 2.016 era sólo calcular el Tamaño real de una galaxia a partir de su Distancia, conocida a partir del Corrimiento al Rojo, y el Ángulo con el que la veamos en el telescopio. Pero igualmente se puede adaptar con facilidad para realizar los otros dos cálculos, tal como aquí los presento en Abril de 2.019.

Además se tiene en cuenta el hecho de que el Universo no es plano, sino curvo. Es la Hipersuperficie 3D de una Hiperesfera 4D, y no se debe aplicar la Trigonometría Plana sino la Trigonometría Esférica.

Para que veáis la diferencia incluyo también cuáles serían los resultados si aplicáramos la Geometría Plana.

Y los resultados son sorprendentes.

Lo primero que observamos es que en distancias cortas, hasta unos 100 Mal, apenas hay diferencia en los resultados. Pero cuando la distancia a una galaxia va aumentando (probad distintas distancias de mil en mil Mal), el ángulo de visión es cada vez menor, pero mayor en la geometría esférica que en la plana.

Siempre es así, pero con una particularidad: Hasta 21.677 Mal, que es, respecto a nosotros, el Ecuador del Universo, el ángulo de visión de la galaxia va disminuyendo, pero cada vez menos. Al llegar justo a esa distancia, Andrómeda se vería con un ángulo visual de 3'29 segundos de arco. Y es el tamaño más pequeño con el que la Galaxia Andrómeda podrá verse desde cualquier lugar del Universo.

A partir de esa distancia Andrómeda se verá cada vez más grande en el telescopio.

Inicialmente he rellenado la calculadora con los datos correspondientes a la galaxia Andrómeda, con un diámetro de 0'22 Mal y a una distancia de 2'54 Mal. A tan corta distancia hay poca diferencia entre los cálculos Planos y Esféricos, pero podéis probar con el tamaño y distancia de cualquier otra galaxia, aunque esté al otro extremo del Universo.

Para una galaxia como la Vía Láctea, con un tamaño de 0'1 Mal, el ángulo más pequeño con el que se verá es de 1'5 segundos de arco.

A partir de ahí, mientras más lejos esté se verá cada vez más grande.

Una advertencia: Al calcular el Tamaño o la Distancia de una galaxia, debemos introducir el ángulo con el que la galaxia se ve en el telescopio. Y dependiendo del tamaño de la galaxia, existe un ángulo mínimo. Si en cualquiera de las dos calculadoras introducís un ángulo menor, el resultado en Trigonometría Esférica es Inválido. No es fallo del programa, es que una galaxia nunca se puede ver más pequeña que cuando está en el Ecuador del Universo.

Para un ángulo cualquiera, mayor que el ángulo visual mínimo de una galaxia, existen DOS distancias a las que se verá con ese mismo ángulo. Una está en el primer cuadrante y la otra en el segundo. Y ambas a la misma distancia del Ecuador del Universo. Al calcular la distancia a partir de su tamaño y ángulo de visión muestro la solución del primer cuadrante, y para determinar la distancia real deberíamos tener en cuenta su Corrimiento al Rojo. Podéis confirmarlo con la Calculadora del Corrimiento al Rojo.

También podríamos ver una galaxia con el mismo ángulo en los cuadrantes tercero y cuarto, pero estaría la imagen invertida, tal como si nos miráramos en un espejo cóncavo (o en una cuchara) desde más lejos que el centro focal del espejo. De hecho, si viéramos una galaxia más allá de las antípodas, a más de 43 Gal de distancia, también podríamos verla justo en la dirección opuesta del firmamento.

Es la misma galaxia, aunque una la veríamos menos brillante, con un mayor corrimiento al rojo, mucho más joven y con la imagen invertida. Y la otra, mirando justo en la dirección opuesta, con el mismo tamaño angular pero más brillante, con menor corrimiento al rojo y mostrando una imagen mucho más reciente de la misma galaxia.

Por desgracia el brillo de las galaxias es cada vez menor y nuestros telescopios actuales no son capaces de verlas más allá de una cierta distancia. Pero cuando lo sean se podrán ver todas las galaxias ¡en las dos direcciones opuestas del firmamento!

Bueno, seamos realistas, la luz de las galaxias lejanas tarda muchísimo tiempo, miles de millones de años, en recorrer la distancia hasta nosotros. Una galaxia situada en el extremo opuesto del Universo, las antípodas, la veríamos en este momento con el aspecto que tenía 595 Ma después del Big Bang. Y es posible que en esa época la galaxia no existiese, ni siquiera se hubiera empezado a formar, así que podéis olvidaros de intentar ver la misma galaxia desde dos direcciones opuestas del firmamento, pero dentro de 10 ó 20 Ga sí sería posible. Sólo tenéis que esperar un poco.

Sólo que para entonces, si esta página sigue publicada, deberéis cambiar el dato Radio de la Esfera y poner el Radio que tendrá en ese momento.

Es fácil, el Radio de la Esfera coincide numéricamente con la Edad del Universo, así que dentro de 20 Ga deberéis indicar que el radio es de 33.800 Mal.

Podéis usar esta herramienta con otros fines, en otras condiciones, poniendo el radio de la Tierra o de una pelota de fútbol, y sustituyendo los Mal por Km o cm. A mí no se me ocurre ninguna utilidad práctica para ello, pero quizás vosotros sí.

Y hasta aquí hemos llegado, espero que os haya gustado.

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