Areas de Ciencias

Bienvenidos a MasLibertad

Torrejón de Ardoz

Areas de Ciencias

Ciencia y Futuro

Ciudades en el Espacio

Teoría de La Gran Onda

Lansi: Idioma Universal

Vida Natural

Utilidades y Herramientas

Sistema Internacional de Medidas

Calculadoras JavaScript

Calcular el Número PI

La Espiral Logarítmica

Calculadora de la Inversa del Cuadrado

Aceleración en Naves Espaciales

Calculadoras USA

Convertidor Fahrenheit-Celsius

Calcular el NIF

Simulador D'Hont

Calculadora de Paralaje Galáctico

Calcular Distancias Geográficas

Calculadora de Préstamos

Documentales y Libros

Áreas de Religión

Economía y Política

La Última Página

Datos de Usuario

AnónimoEntrar
IP3.214.184.124

Datos de Pagina

Dibuja una Espiral Logarítmica

Creada29-11-2019
Modificada29-11-2019
Total Visitas7
Diciembre7

Dibujar una Espiral Logarítmica

Espiral Logarítmica

xx

Ángulo de la Espiral: Grados

Su navegador no soporta canvas :(

Razón = XX por Vuelta

Ver Guías Invertir

Con esta herramienta podremos dibujar una Espiral Logarítmica con el ángulo deseado.

Inicialmente se ha dibujado una espiral de 10 grados. Podemos introducir cualquier ángulo entre 0 y 90 grados.

En caso de introducir una cantidad de grados fuera de este rango no se dibujará la espiral.

Es de destacar que la espiral de 0 grados NO es una espiral, sino una circunferencia. Y con 90 grados se dibuja una línea recta que va hasta el centro de la espiral. Con cualquier otra cantidad se dibujará una espiral logarítmica.

El grado de la espiral se puede indicar tecleándola en el cuadro de texto correspondiente o usando la Barra de Rango.

La Razón es la proporción que hay entre la longitud del Radio en un punto cualquiera y en la vuelta siguiente.

Hay que notar que cuanto mayor es el grado de la espiral la Razón crece de forma más que exponencial. Como ejemplos, en una espiral de 10 grados, cada vuelta es 3 veces más grande que la anterior. En 45 grados, la razón es de 535. Si nos situamos a un metro del centro, tenemos que alejarnos 535 metros para encontrar la siguiente vuelta en el mismo radio. Y la siguiente estará 535 veces más lejos, unos 300 Km. Y la siguiente a 153.000 Km, a la mitad del camino a la Luna.

Con espirales de más grados, la Razón crece enormemente. Con 70 grados, siempre partiendo desde un metro del centro, hay que llegar a 31.400 Km para encontrar la primera vuelta. Con 75 grados alcanzaríamos 15 Gigametros, 50 veces más allá de la Luna y a un quinto de la distancia más corta a Marte. Con 80 grados, la primera vuelta la encontraríamos ya fuera del Sistema Solar. 

Podéis marcar la casilla Ver Guías para dibujar la circunferencia exterior y el radio.

Y la casilla Invertir cambia la dirección en la que crece la espiral.

Hablando en estricta puridad, una espiral logarítmica con un grado entre 1 y 89 crecerá hacia la derecha, y entre 91 y 179 hacia la izquierda. Personalmente me parece más estética la versión que crece a la derecha, pero puede que os interese ver también la espiral inversa. En tal caso sólo tenéis que marcar la casilla correspondiente.

La Espiral Logarítmica

Una espiral logarítmica es una curva en la que el ángulo de toda tangente con el radio es constante. La razón entre una vuelta y la siguiente es siempre la misma, independientemente del radio elegido.

Sin embargo, por convenio, el grado de la espiral no hace referencia al ángulo con respecto al radio, sino a la circunferencia. Una espiral de 5 grados corta a la circunferencia que cruza en cada punto con un ángulo de 5 grados. En cambio corta al radio con un ángulo de 85 grados (90-5).

No hay que confundirla con una Espiral Aritmética, también llamada Espiral de Arquímedes. En esta última, la distancia entre las vueltas es siempre la misma. En la logarítmica la distancia es cada vez mayor, y siempre en la misma proporción.

De hecho, podéis hacer un experimento muy curioso si disponéis de una fotocopiadora. Si cogéis una espiral logarítmica y la fotocopiáis ampliándola o reduciéndola en cualquier proporción, luego podéis superponerlas al trasluz y girando una de ellas lograréis que coincida, exactamente, con la original.

Si intentáis lo mismo con una espiral de Arquímedes, comprobaréis que es imposible.

La Espiral Logarítmica se da a menudo en la Naturaleza. Un Nautilus construye su concha en forma de espiral de 10 grados. También los Caracoles construyen su concha en forma de Espiral Logarítmica.

Y las pipas de Girasol y los piñones de una piña están dispuestos en DOS Espirales Logarítmicas invertidas de distintos grados.

Espiral Logarítmica de 80 gradosLos halcones y varias aves rapaces vuelan hacia su presa en su mejor ángulo de visión, que es de unos 10 grados. Eso significa que su vuelo sigue una espiral de 80 grados. Es casi una línea recta, por lo que el halcón no llega a dar vueltas alrededor de la presa, pero ésta puede ser engañada pensando que el halcón no está volando hacia ella. Hasta que es demasiado tarde.

Los brazos de nuestra Galaxia, la Vía Láctea, forman espirales de 12 grados.

Propiedades de la Espiral Logarítmica

Una espiral logarítmica se define como una línea continua que conserva siempre el mismo ángulo con cualquier radio que cruce.

Curiosamente, para definir el grado de una espiral no se indican los grados con respecto al radio, sino a la circunferencia centrada en el origen de la espiral.

Así, una espiral de grado 15 es la que su tangente tiene 15º respecto a la circunferencia, o 75º respecto al radio (90-15). Una espiral de 105º (90+15) sería la misma espiral pero girando hacia la izquierda en vez de hacia la derecha).

Una espiral de grado 0 es una circunferencia centrada en el origen.

Una espiral de grado 90 es una recta que acaba en el origen.

Cualquier otra espiral da un número infinito de vueltas alrededor de su origen, tanto hacia dentro como hacia fuera.

Si tomamos un radio cualquiera y cogemos una distancia arbitraria x, desde x hacia fuera hay una longitud infinita, y en ella la espiral cruza el radio infinitas veces.

Si examinamos el radio desde x hasta el origen, tendremos una distancia finita, pero en esa distancia finita la espiral da infinitas vueltas, cada vez más pequeñas, sin llegar nunca al origen. Y a pesar de dar un número infinito de vueltas, la longitud de una espiral desde un punto cualquiera a su centro no es infinita, sino finita, e igual al Radio dividido por el coseno del ángulo de la espiral con el radio (¡¡qué cosas más raras pasan!!)

La distancia entre dos cruces consecutivos de una espiral con el mismo radio es SIEMPRE y en cualquier radio, la distancia del cruce más cercano al origen multiplicado por un factor constante.

Si tienes una espiral logarítmica y coges cualquier punto P de ella, mides la distancia OP y prolongas ese mismo radio hasta encontrar la siguiente vuelta OS, la razón entre OS y OP es siempre la misma, independientemente del punto y del radio escogidos.

Ese factor constante depende del grado de la espiral.

La Fórmula de la Espiral Logarítmica

Para dibujar y calcular los datos de una Espiral Logarítmica, lo más sencillo es trabajar con Coordenadas Polares. Este sistema de coordenadas parte de un punto de Origen y utiliza dos valores, la Dirección y la Distancia al origen.

La Dirección se indica mediante un Ángulo: A, expresado en Radianes. Para convertir los Grados en Radianes multiplicamos por PI y dividimos por 180.

A la distancia nos referiremos como Radio: R.

Desde un punto cualquiera de una espiral de grado G, todos los demás puntos pueden calcularse con la fórmula

Fórmula de la Espiral Logarítmica

... donde e es el número de Euler, 2'71828, A es el Ángulo expresado en radianes y G es el grado de la espiral.

Con esta fórmula, la espiral va creciendo hacia afuera, pero al programar el dibujo he preferido hacerla desde fuera hacia adentro, por lo que he sacado la inversa del resultado (1/R) con el fin de hacer el dibujo desde el exterior del lienzo hacia el centro, hasta que el radio es menor que 1 píxel.

Después hay que convertir las Coordenadas Polares en Cartesianas, desplazarlas para dibujar la espiral alrededor del Centro del Dibujo (no de la esquina) y trazar la línea de grado en grado.

Para quien esté interesado en la programación JavaScript, el programa, simplificando algunos detalles, queda como sigue:

var x, y; // serán las coordenadas cartesianas
var a = -Math.PI / 2; // para empezar la espiral desde arriba
var ar = Math.PI / 180; // para dibujarla de grado en grado
var c = Math.exp(Math.tan(vAngulo * ar) * ar);
Dibujo.strokeStyle = "blue";
Dibujo.beginPath(); // empezamos el dibujo
if (vAngulo == 0) // una espiral de grado 0 es una circunferencia
	Dibujo.arc(Centro.x, Centro.y, Diametro, 0, Math.PI * 2);
else if (vAngulo == 90) // de grado 90 es una recta al centro
{
	Dibujo.moveTo(Centro.x, Centro.y-Diametro);
	Dibujo.lineTo(Centro.x, Centro.y);
}
else
{
	Dibujo.moveTo(Centro.x, Centro.y-Diametro);
	var r = Diametro; // empezamos desde fuera
	while (r > 1) // Mientras el radio sea mayor que un pixel
	{	// Convertimos Coordenadas Polares en Cartesianas
		x = Centro.x + r*Math.cos(a);
		y = Centro.y + r*Math.sin(a);
		Dibujo.lineTo(x,y);
		r = r/c; // reducimos el radio
		a += ar; // giramos el ángulo UN grado (en radianes)
	}
}
Dibujo.stroke(); // terminamos el dibujo

Geometría, Matemáticas, Programación... ¿Quién quiere más?

Perdón por la interrupción

La Ley me obliga a darte el siguiente

Aviso Legal

Utilizamos cookies propias y de terceros para mejorar nuestros servicios y mostrarle publicidad relacionada con sus preferencias mediante el análisis de sus hábitos de navegación.

Si continua navegando, consideramos que acepta su uso.

Si lo desea, puede Ampliar Información

Aceptar Cookies

Bienvenidos a MasLibertad | ¿Quién soy yo? | Cartas al Autor | Aviso Legal sobre Cookies