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Dibuja una Espiral Logarítmica

Creada29-11-2019
Modificada29-11-2019
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Abril4

Dibujar una Espiral Logarítmica

Espiral Logarítmica

Ángulo de la Espiral: Grados

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Ver Guías Invertir

Razón = XX por Vuelta

Longitud = XX Metros

Con esta herramienta podremos dibujar una Espiral Logarítmica con el ángulo deseado.

Inicialmente se ha dibujado una espiral de 10 grados. Podemos introducir cualquier ángulo entre 0 y 90 grados.

En caso de introducir una cantidad de grados fuera de este rango no se dibujará la espiral.

Es de destacar que la espiral de 0 grados NO es una espiral, sino una circunferencia. Y con 90 grados se dibuja una línea recta que va hasta el centro de la espiral. Con cualquier otra cantidad se dibujará una espiral logarítmica.

El grado de la espiral se puede indicar tecleándola en el cuadro de texto correspondiente o usando la Barra de Rango. En el cuadro de texto se pueden indicar decimales (probad con 0.1 y 0.2). Con la barra de rango no se seleccionan decimales, sino grados enteros, desde 0 hasta 90.

Podéis marcar la casilla Ver Guías para dibujar la circunferencia exterior y el radio.

Y la casilla Invertir cambia la dirección en la que crece la espiral.

Hablando en estricta puridad, una espiral logarítmica con un grado entre 1 y 89 crece hacia la derecha, y entre 91 y 179 hacia la izquierda. Si os interesa ver la espiral inversa, creciendo hacia la izquierda, sólo tenéis que marcar la casilla correspondiente.

Además se ofrecen dos datos que son interesantes de conocer.

La Razón es la proporción que hay entre la longitud del Radio en un punto cualquiera y en la vuelta siguiente.

Y la Longitud es lo que mide una espiral desde 1 Metro de distancia hasta el Centro. Una espiral de UN grado, mide 57 metros, y podría llegar a Infinito si pusiérais 0'000...001 como grado de la espiral, pero os recomiendo no poner valores menores de 0'1 pues el dibujo sería un círculo completamente opaco, y se tardaría mucho tiempo en dibujarlo.

En el caso particular de poner CERO grados, se dibujará una circunferencia y se indicará su longitud. Y con 90 grados, el resultado es una recta que mide UN Metro. 

Propiedades de la Espiral Logarítmica

Una espiral logarítmica es una curva en la que el ángulo de toda tangente con el radio es constante. La razón entre una vuelta y la siguiente es siempre la misma, independientemente del radio elegido.

Sin embargo, por convenio, el grado de la espiral no hace referencia al ángulo con respecto al radio, sino a la circunferencia. Una espiral de 5 grados corta a la circunferencia que cruza en cada punto con un ángulo de 5 grados. En cambio corta al radio con un ángulo de 85 grados (90-5).

Espirales Aritmética y LogarítmicaNo hay que confundirla con una Espiral Aritmética, también llamada Espiral de Arquímedes. En esta última, la distancia entre las vueltas es siempre la misma. En la logarítmica la distancia es cada vez mayor, y siempre en la misma proporción.

Dos Espirales Logarítmicas Superpuestas

De hecho, podéis hacer un experimento muy curioso si disponéis de una fotocopiadora. Si cogéis una espiral logarítmica y la fotocopiáis ampliándola o reduciéndola en cualquier proporción, luego podéis superponerlas al trasluz y girando una de ellas lograréis que coincida, exactamente, con la original.

Si intentáis lo mismo con una espiral de Arquímedes, comprobaréis que es imposible.

La Espiral Logarítmica se da a menudo en la Naturaleza. Los brazos de nuestra Galaxia, por ejemplo, forman espirales de 12 grados.

Espiral Logarítmica de 80 gradosLos halcones y varias aves rapaces vuelan hacia su presa en su mejor ángulo de visión, que es de unos 10 grados. Eso significa que su vuelo sigue una espiral de 80 grados. Es casi una línea recta, por lo que el halcón no llega a dar vueltas alrededor de la presa, pero ésta puede ser engañada pensando que el halcón no está volando hacia ella. Hasta que es demasiado tarde.

Los Nautilus construyen sus conchas en forma de Espiral Logarítmica de 10 grados. También los Caracoles construyen su concha en forma de Espiral Logarítmica.

Piña de FibonacciY las pipas de Girasol y los piñones de una piña están dispuestos en varias Espirales Logarítmicas invertidas de distintos grados.

¿Cuántas espirales? Sorprendeos, tanto en las piñas como en los girasoles son DOS Números de Fibonacci consecutivos, 8-13 y 21-34.

Espiral áureaPor último, hay una construcción geométrica que se suele llamar Espiral Áurea, o Espiral Dorada. Consiste en una serie de rectángulos áureos (con lados en proporción 1 a φ=phi=1'618034) cada vez más grandes que se van superponiendo en espiral, y sus esquinas se unen con arcos circulares. También puede construirse, como se ve en el dibujo, partiendo de un rectángulo áureo y al lado más largo adosarle un cuadrado, convirtiendo el total en un nuevo rectángulo áureo.

El resultado se ajusta aproximadamente a una espiral logarítmica de 17 grados, pero NO ES una espiral verdadera, sino una sucesión de cuartos de circunferencia.

El Tamaño de las Espirales

Hay que hacer notar que cuanto mayor es el grado de la espiral la Razón entre una vuelta y la siguiente crece de forma más que exponencial.

En una espiral de 10 grados, cada vuelta es 3 veces más grande que la anterior.

En 45 grados, la razón es de 535. Si nos situamos a un metro del centro, tenemos que alejarnos 535 metros para encontrar la siguiente vuelta en el mismo radio. Y la siguiente estará 535 veces más lejos, unos 286 Km. Y la siguiente a 153.000 Km, a la mitad del camino a la Luna.

Con espirales de más grados, la Razón crece enormemente. Con 70 grados, siempre partiendo desde un metro del centro, hay que llegar a 31.400 Km para encontrar la primera vuelta. Con 75 grados alcanzaríamos 15 Gigametros, 50 veces más allá de la Luna, a un décimo de la distancia al Sol.

Una espiral de 80 grados, como el vuelo de los halcones tras una presa, es enorme, inmensa. La primera vuelta hacia afuera la encontraríamos ya fuera del Sistema Solar. Muy afuera, a unos 4 Meses·Luz.

Y ya con 85 grados, olvidaos. Si nos situamos en la espiral a un metro del centro y viajamos por el radio, la primera vuelta la encontraríamos a 15 Quintillones de metros (15e30).

Por ponerlo en una perspectiva que podamos comprender: Un año·luz mide 9'46e15 metros, 9.460 Billones de metros. 15 Quintillones de metros serían (15e30/9'46e15=) 1'6e15 años·luz, 1.600 Billones de años·luz. Es una distancia 115.900 veces más grande que la que ha podido recorrer un rayo de luz desde hace 13.800 Millones de años, el tiempo que hace que existe el Universo.

Si pudiéramos viajar a la velocidad de la luz, la primera vuelta de la espiral de 85 grados la encontraríamos al cabo de más de 115.900 veces la edad actual del Universo.

Pero eso es si buscamos la siguiente vuelta hacia afuera, pero ¿y hacia adentro?

Una espiral, matemática pura, da infinitas vueltas hacia afuera, aunque sean hipergigallones de veces más grandes que el Universo. Y también hacia adentro, aunque las vueltas acaben siendo hipergigallones de veces más pequeñas que las partículas subatómicas.

Longitud de una Espiral Logarítmica hasta el CentroSu longitud, hacia afuera, es infinita. Pero no hacia adentro. La longitud de una espiral desde un punto cualquiera hasta su centro no es infinita, sino finita, e igual al Radio dividido por el coseno del ángulo de la espiral con el radio. Como el Grado de la Espiral se refiere a su ángulo con la circunferencia, tenemos que restar el Grado de la espiral de los 90 grados (¡¡qué cosas más raras pasan!!).

La Fórmula de la Espiral Logarítmica

Para dibujar y calcular los datos de una Espiral Logarítmica, lo más sencillo es trabajar con Coordenadas Polares. Este sistema de coordenadas parte de un punto de Origen y utiliza dos valores, la Dirección y la Distancia al origen.

La Dirección se indica mediante un Ángulo: A, expresado en Radianes. Para convertir los Grados en Radianes multiplicamos por y dividimos por 180.

A la distancia nos referiremos como Radio: R.

Desde un punto cualquiera de una espiral de grado G, todos los demás puntos pueden calcularse con la fórmula

Fórmula de la Espiral Logarítmica

... donde e es el número de Euler, 2'71828, A es el Ángulo expresado en radianes y G es el grado de la espiral.

Con esta fórmula, la espiral va creciendo hacia afuera, pero al programar el dibujo he preferido hacerla desde fuera hacia adentro, por lo que he sacado la inversa del resultado (1/R) con el fin de hacer el dibujo desde el exterior del lienzo hacia el centro, hasta que el radio es menor que 1 píxel.

Después hay que convertir las Coordenadas Polares en Cartesianas, desplazarlas para dibujar la espiral alrededor del Centro del Dibujo (no de la esquina) y trazar la línea de grado en grado.

Para quien esté interesado en la programación JavaScript, el programa, simplificando algunos detalles, queda como sigue:

Dibujo.strokeStyle = "blue";
Dibujo.beginPath(); // empezamos el dibujo
if (vAngulo == 0) // una espiral de grado 0 es una circunferencia
    Dibujo.arc(Centro.x, Centro.y, Diametro, 0, Math.PI * 2);
else if (vAngulo == 90) // de grado 90 es una recta al centro
{
    Dibujo.moveTo(Centro.x, Centro.y-Diametro);
    Dibujo.lineTo(Centro.x, Centro.y);
}
else
{
    var x, y; // serán las coordenadas cartesianas
    var a = -Math.PI / 2; // para empezar la espiral desde arriba
    var ar = Math.PI / 180; // para dibujarla de grado en grado
    var c = Math.exp(Math.tan(vAngulo * ar) * ar);
            // incremento de radio por grado
    Dibujo.moveTo(Centro.x, Centro.y-Diametro);
    var r = Diametro; // empezamos desde fuera
    while (r > 1) // Mientras el radio sea mayor que un pixel
    {   // Convertimos Coordenadas Polares en Cartesianas
	x = Centro.x + r*Math.cos(a);
	y = Centro.y + r*Math.sin(a);
	Dibujo.lineTo(x,y);
	r = r/c; // reducimos el radio
	a += ar; // giramos el ángulo UN grado (en radianes)
    }
}
Dibujo.stroke(); // terminamos el dibujo

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