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El Movimiento de los Planetas en el  Sistema Solar o en cualquier sistema gravitatorio sometido a las Leyes de Kepler

Creada25-02-2020
Modificada25-02-2020
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Abril8

La Espiral de Kepler

La Espiral de Kepler

Masa x10Kg
Distancia
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Ver Guías Órbitas Espiral
Planetas

Con este programa podremos dibujar las órbitas de varios planetas con el fin de estudiar y comprender como varían sus velocidades y recorridos en función de las distancias desde cada uno de ellos hasta el Sol.

Por simplificar, suponemos que las órbitas son circulares, y para comparar colocamos varios planetas a distancias regulares. En el tiempo que tarda el primer planeta en completar una órbita, los demás habrán recorrido una fracción cada vez menor de su órbita, y a una velocidad cada vez menor.

En primer lugar se pide la Masa del cuerpo central, que puede ser una estrella o un planeta. Debe introducirse en Kg, usando Notación Exponencial Abreviada. Como ejemplos, el Sol tiene una Masa de 2 Quintillones de Kg, que pueden expresarse como 2e30 Kg. La Tierra pesa 6 Cuatrillones de Kg, igual a 6e24 Kg.

A continuación indicamos la Distancia. La Tierra se encuentra a 150 Gm del Sol, pero podemos indicar cualquier otra distancia, en cualesquiera otras unidades.

Podemos marcar o desmarcar varios elementos (Guías, Órbitas, Espiral) si queremos que aparezcan o no en el gráfico. Asímismo, también podemos indicar el número de Planetas a calcular e indicar si queremos visualizarlos. El número de planetas se puede introducir en el cuadro de texto o mediante la barra de rango inferior. Como siempre que uséis una barra de rango, os recomiendo que pincheis en ella con el ratón y luego uséis los cursores para cambiar su valor.

Por último, podemos seleccionar UN Dato que deseamos ver en todos los planetas.

Por razones de espacio, no se pueden dibujar todos los datos de todos los planetas, pero sí podemos seleccionar un dato específico para conocerlo en todos los planetas al mismo tiempo.

Y podremos comprobar algo sorprendente: Si cambiamos la Masa Central o la Distancia para simular un sistema orbital diferente, veremos cómo cambian algunos datos (Fuerza, Velocidad, Duración del Año). Pero el Ángulo orbital recorrido por cada planeta NO cambia. Ni tampoco el dibujo de la Espiral.

No importa que cambiemos los datos, el gráfico resultante es idéntico en cualquier sistema orbital, independientemente de las masas y las distancias. Siempre que un objeto a una distancia X realice UNA órbita, los objetos situados a 2X, 3X, etc, se ajustarán perfectamente a este gráfico.

Las Órbitas Planetarias

Desde hace miles de años, los astrónomos han observado las estrellas y en ellas han distinguido entre estrellas fijas, que conservaban siempre la misma posición año tras año, y estrellas errantes, que cambiaban de posición respecto al fondo de estrellas fijas. Para distinguirlas, a las estrellas errantes las llamaron Planetas.

Movimiento Retrógrado Aparente de los PlanetasObservando los planetas día a día, mes a mes, se comprobó que se iban desplazando entre las estrellas, casi siempre hacia el Este. A veces se detenían, se desplazaban al Oeste durante varias semanas y después volvían a detenerse y desplazarse al Este (desde el Hemisferio Norte, mirando los planetas, el Este estaría a la Izquierda. Desde el Hemisferio Sur, a la Derecha).

Mientras se pensaba que la Tierra era el Centro del Universo y que todas las estrellas y los planetas viajaban a su alrededor, esos movimientos eran difíciles, casi imposibles de explicar, pero cuando Nicolás Copérnico propuso la Teoría Heliocéntrica, en la que el centro del Universo no era la Tierra, sino el Sol, y que la misma Tierra iba cambiando de posición a su alrededor, se comprendió que esas variaciones de sus movimientos eran aparentes, y debidas al cambio de perspectiva desde la que observábamos los planetas.

Aún pensábamos que las órbitas de los planetas deberían ser circulares, lo que durante un tiempo planteó problemas para calcular la posición exacta de los planetas.

Hasta que llegó Kepler.

Johannes Kepler propuso, y el tiempo le dio la razón, que las órbitas de los planetas no eran circulares, sino elípticas, estando el Sol en uno de los dos focos de la elipse. Formuló una serie de leyes, las Leyes de Kepler, que han demostrado su validez hasta la actualidad.

La Velocidad de las Órbitas Planetarias

Según las leyes de Kepler, la velocidad a la que los planetas orbitan alrededor del Sol depende de la distancia a la que estén.

La Tierra tarda un año en orbitar el Sol. Los planetas más cercanos tardan menos tiempo y los más lejanos más.

Además, la velocidad de los planetas es menor cuanto más lejos estén.

Y además, al ser sus órbitas elípticas, la velocidad de cada planeta también varía, siendo más veloces cuando están más cerca del Sol, en el Perihelio, y más lentos cuando están más lejos, en el Afelio.

Para el propósito de este artículo, por simplificar las cosas, asumiré que las órbitas no son elípticas, sino circulares, y que la velocidad de los planetas es constante, dependiendo únicamente de la distancia al Sol, que también se asumirá como constante.

Podemos representar esto mediante un gráfico de Coordenadas Cartesianas, pero es mucho más ilustrativo mostrar la posición real de los planetas al cabo de un año. Y esto se consigue mejor usando Coordenadas Polares.

Órbitas Planetarias en un Tiempo DeterminadoSi situamos diez planetas alrededor de una estrella a distancias regulares, de 1 a 10, en el tiempo que el primero tarda en realizar una órbita completa los demás habrán recorrido una fracción cada vez menor de su órbita.

Podemos apreciarlo en el gráfico adjunto, en el que se indican las órbitas recorridas por cada planeta. Todas las órbitas representan el arco recorrido por cada planeta en el tiempo en el que el primero realiza una órbita completa.

No importa cuál sea la masa de la estrella, ni de los planetas, ni la distancia del primer planeta a la estrella. En el tiempo en el que el primer planeta completa la primera órbita, los demás planetas se ajustarán exactamente a este gráfico.

La Espiral de Kepler

Espiral de KeplerSi completamos el gráfico con todas las distancias intermedias conseguiremos una curva que, igualmente, será idéntica en cualquier sistema orbital.

Prolongándola hacia fuera, la curva tiende a ser cada vez más recta y más cercana al eje del gráfico, pero nunca llega a unirse a él, ni siquiera a una distancia infinita.

Y si la prolongamos hacia adentro, el resultado será similar a una Espiral, pero distinta a las espirales aritméticas y logarítmicas.

No tengo constancia de que esta curva haya sido nunca descrita, no la he encontrado en ningún tratado de geometría, matemáticas o astronomía.

Como parece que soy el primero en describirla, he decidido llamarla Espiral de Kepler, ya que fue el astrónomo Kepler el primero que dedujo las leyes matemáticas que describen el movimiento de las órbitas de los planetas en torno al Sol.

Y el motivo de llamarla Espiral es porque aunque hacia afuera NO es, estrictamente, una espiral, SÍ lo es hacia adentro, pero de forma radicalmente distinta a las espirales aritméticas y logarítmicas.

Espirales Aritmética y LogarítmicaUna Espiral Aritmética es aquella en que la distancia entre una vuelta y la siguiente es siempre la misma. Cada vuelta crece en una Longitud Constante.

En La Espiral Logarítmica, la distancia entre una vuelta y la siguiente es cada vez mayor, pero siempre en la misma proporción. Cada vuelta crece en una Proporción Constante.

Espiral de KeplerEn la Espiral de Kepler la distancia entre una vuelta y la siguiente no crece en una distancia fija, ni en una proporción fija. Cada vuelta crece en una Proporción Creciente.

Hacia dentro, la distancia entre las vueltas es cada vez menor y llega un momento en que las líneas son tan densas que sólo se ven como una mancha negra. No hay forma de representarlas en un gráfico, ni en pantalla ni en papel.

Y con una particularidad: Hacia fuera, al llegar a cierto punto la proporción en la que crece la espiral es tan grande que la curva se invierte. Si al principio giraba siempre a la derecha, a partir de un punto determinado empieza a girar a la izquierda, manteniéndose cada vez más cerca del eje del dibujo pero sin llegar a alcanzarlo. Ni siquiera a una distancia infinita.

  Vueltas Longitud
Afuera Adentro Afuera Adentro
Aritmética Finitas Finita
Logarítmica Finita
Kepler Finitas

Y una diferencia más de la Espiral de Kepler con las otras espirales: La Espiral Aritmética da infinitas vueltas hacia fuera, pero no hacia dentro. La Espiral Logarítmica da infinitas vueltas hacia fuera y hacia dentro. La Espiral de Kepler da infinitas vueltas hacia dentro, pero NO hacia fuera.

En cuanto a su Longitud, hacia fuera todas las espirales son infinitas, aunque en la espiral de Kepler la última vuelta tiende a convertirse en una línea recta cada vez más cercana pero sin llegar a alcanzar, el último radio de la espiral.

Hacia dentro, tanto la espiral aritmética como la logarítmica tienen una longitud finita.

¿Tiene la Espiral de Kepler una Longitud Infinita hacia dentro?

Por desgracia mis conocimientos no llegan a tanto pero, como siempre que tengo dudas, he preguntado. Y gracias la inestimable ayuda de Luis Fuentes, del Foro del Rincón Matemático, parece que así es.

Aunque cada vuelta es más pequeña que la anterior, la longitud total de la espiral hacia dentro es Infinita.

Las Fórmulas Matemáticas

No existe, que yo sepa, una fórmula matemática que permita definir esta espiral mediante una función, hay que desarrollarla, y para ello seguimos los siguientes pasos:

Teniendo un cuerpo bastante masivo, como una estrella o planeta, calculamos la Fuerza Gravitatoria que ejerce sobre la masa de otro cuerpo, como un planeta, luna o satélite.

En adelante, por comodidad, me referiré a ellos como Estrella y Planeta, pero el mismo razonamiento se aplicaría a cualesquiera dos cuerpos en un sistema orbital.

La Fuerza Gravitatoria se calcula con la Ecuación de Newton.

Fórmula de la Fuerza de Gravedad de Newton

donde M y m son las Masas de la estrella y el planeta en Kg, d es la Distancia hasta la Estrella en metros y G es la constante de Gravitación Universal.

Esta fuerza hace que el planeta experimente una aceleración hacia la estrella. Para que el planeta no caiga hacia la estrella, debe llevar una velocidad tangencial que genere una Fuerza Centrífuga idéntica a la fuerza centrípeta, gravitatoria, del planeta.

La Fuerza Centrífuga se calcula con la fórmula

Fórmula de la Fuerza Centrífuga

donde v es la velocidad del cuerpo que está orbitando y r es el radio de la órbita, igual a d, la distancia que separa a un planeta de su estrella.

Puesto que ambas fuerzas deben ser idénticas, podemos igualarlas y simplificarlas:

Fuerzas Gravitatoria y Centrífuga

Vemos que la masa del planeta ha desaparecido de la ecuación. Es decir, que no importa que su masa sea de 6 Cuatrillones de Kg (como la Tierra) o que se trate de una nave de 5.000 Toneladas o una piedra de 1 Kg. Su órbita alrededor de la estrella va a ser la misma.

Y despejando la Velocidad

Velocidad de un cuerpo en Órbita

En realidad no nos interesan las velocidades, sino la porción de la órbita que va a recorrer cada planeta en el tiempo que el primero complete su órbita.

Como la distancia recorrida es igual a velocidad por tiempo y debe ser igual a la circunferencia cuyo radio es d, tenemos que

Desarrollo Ecuaciones Orbitales 2

de donde

Desarrollo Ecuaciones Orbitales 3

Y combinando esta última fórmula con la de la Velocidad, tenemos

Desarrollo de Fórmula de Tiempo Orbital

Este es el tiempo, en segundos, que va a tardar un planeta en completar su órbita.

Ahora bien, en esta ecuación tenemos la variable d repetida, y como más adelante vamos a necesitar despejarla, no interesa que una misma variable se encuentre repetida, así que vamos a pasar la variable d al denominador e introducirla dentro de la raíz.

Aquí, por desgracia, cometí un error que me dio resultados incorrectos.  Y de nuevo gracias a la ayuda del Foro del Rincón Matemático pude corregir ese despiste.

Desarrollo de Fórmula de Tiempo Orbital 2

Cambiando la distancia d, podemos calcular el tiempo que tardará cualquier planeta a cualquier distancia de una estrella de masa M en orbitarla.

Ahora nos interesa conocer qué ángulo de su órbita habrá recorrido un planeta en un tiempo determinado. Mediante una sencilla regla de tres, tenemos

Si Planeta X, en Tiempo t recorre 2 radianes
en Tiempo T recorrerá A radianes

No confundamos las variables t y T. T es el tiempo que tardará un planeta a una distancia base en realizar una órbita completa. Y t es el tiempo que tardaría ÉSTE planeta que estamos calculando.

Resolviéndolo y simplificando, queda como

Desarrollo Ecuaciones Orbitales 5

Y así podremos calcular qué Ángulo de su órbita habrá recorrido un planeta a cualquier distancia en el tiempo en que un planeta a una distancia base ha completado una órbita exacta.

Es bastante fácil convertir esta fórmula en un gráfico de coordenadas cartesianas o polares, y como lo que nos interesa es una representación gráfica similar a la realidad, hay que usar las coordenadas polares.

Pero además de la posición final de los planetas también nos interesa mostrar una curva que incluya todas las posiciones intermedias y se prolongue hacia dentro a distancias menores del planeta base.

Para dibujar gráficos en Coordenadas Polares, normalmente lo que hacemos es recorrer los ángulos, desde 0 a 360, y para cada ángulo calcular la distancia.

Con esta fórmula, sin embargo, tenemos justo lo contrario, a partir de la distancia calculamos el ángulo. Y esto nos plantearía un problema.

Espiral de Kepler Quebrada

Si programamos el dibujo recorriendo las distancias, desde fuera hacia dentro, por pequeños que sean los pasos el ángulo crecerá mucho más, llegando un momento en que la curva dejaría de ser aparentemente continua para convertirse en una sucesión de rectas cada vez más largas hasta que ya en el interior del gráfico acabaría convirtiéndose en un garabato.

Para evitarlo debemos recorrer, no la distancia, cada vez menor, sino ir de grado en grado y a partir del grado calcular la distancia.

Para ello, de la última fórmula mostrada debemos despejar la variable d. Paso a paso, sería:

Desarrollo Ecuaciones Orbitales 6

Espiral de Kepler InternaY esta última fórmula nos permitirá conocer, a partir de la masa de la estrella y el ángulo de su órbita recorrido en un tiempo determinado, la distancia a la que se encuentra un planeta de su estrella.

Ahora podemos recorrer el gráfico de Grado en Grado, y para cada Ángulo calcular la Distancia, con lo que podremos dibujar la Espiral de Kepler con mucha más precisión.

Resumen de Fórmulas Orbitales

En el desarrollo de estas funciones hemos ido viendo varias fórmulas que pueden ser interesantes y útiles a cualquiera que estudie los movimientos orbitales de los planetas.

Aquí os ofrezco un resumen de las más importantes.

Disponemos de DOS datos fundamentales, la Masa de una estrella y la Distancia de un planeta a su estrella. La masa del planeta o satélite, o su aceleración centrípeta, son irrelevantes en este ejercicio, pero en otros problemas que queráis resolver puede que sí los necesitéis.

A partir de esos datos podemos conocer:

Fuerza Gravitatoria Fórmula de la Fuerza de Gravedad de Newton
Aceleración Centrípeta Aceleración Gravitatoria
Fuerza Centrífuga Fórmula de la Fuerza Centrífuga
Velocidad Orbital Velocidad de un cuerpo en Órbita
Tiempo Orbital Tiempo que dura la órbita de un cuerpo
Ángulo Orbital Ángulo recorrido por un cuerpo en órbita en un tiempo determinado

Espero que os haya parecido interesante y útil.

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