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Dibujar Elipses y Órbitas con Precesión

Creada02-03-2020
Modificada06-03-2020
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Mayo24

Dibujar Elipses con Precesión

Elipse con Precesión

Excentricidad:
Ver Precesión: Grados
Vueltas:
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Ver:  Ejes   Círculos   Focos
 
 

Con esta herramienta podemos dibujar una Elipse, con la excentricidad deseada, y con Precesión, con lo que podremos visualizar cómo evolucionan las órbitas planetarias.

El programa requiere introducir, en primer lugar, la Excentricidad de la elipse, que debe estar comprendida entre 0 y 1. Podemos hacerlo directamente en el cuadro de texto o usar la barra de rango superior.

Una opción interesante: Pulsad con el ratón en la Barra de Rango y después podréis usar los cursores, Izquierda y Derecha, para cambiar con rapidez la Excentricidad de la Elipse.

A continuación hay que indicar si queremos Ver la Precesión, en cuyo caso hay que indicar cuántos Grados girará la elipse en cada vuelta y el Número de Vueltas que deseamos dibujar.

Al cambiar los Grados se calcularán las Vueltas necesarias para completar una precesión completa de 360 grados. Si los grados son un divisor entero de 360, el final de la última vuelta se cerrará con el inicio de la primera, dando lugar a figuras muy interesantes.

En todo caso, si queremos, podemos cambiar las vueltas y poner cualquier cantidad inferior.

O superior. Si los grados eran divisores de 360, la línea de la segunda vuelta se superpondrá a la anterior. Si no, la línea se intercalará en la anterior.

El programa adapta el tamaño para visualizar lo más importante del gráfico. Si no indicamos precesión, quedará centrada la elipse, y la circunferencia exterior se saldrá fuera del lienzo. Si indicamos precesión, será la circunferencia exterior la que quedará centrada, y la elipse se verá más pequeña.

Para conocer mejor los elementos de la elipse, se dibujarán los Ejes de la Elipse, los Focos y, alrededor del primer foco, las Circunferencias con la distancia mínima y máxima de la elipse al foco. Podemos desmarcar cualquiera de esos elementos si sólo queremos ver la elipse.

Por último, se muestran la Longitud y el Área de la elipse, suponiendo que el radio máximo de la misma, el Semieje Mayor, es 1 Metro. Si reducís la Excentricidad a CERO, con lo que la elipse se convertirá en un círculo, comprobaréis que los resultados son 6'28 y 3'14 (2 y ). Tal como serían en un círculo perfecto.

Dibujo de la Elipse por
el Método del Jardinero

Una Elipse es una curva, similar a una circunferencia, pero que en vez de tener UN centro, tiene DOS focos a cierta distancia del centro.

Matemáticamente, la circunferencia se define como el conjunto de puntos que están a la misma distancia del centro. En papel puede dibujarse fácilmente con un compás o clavando un alfiler en el papel y con un hilo atado al alfiler y el otro extremo atado a un lápiz. Un jardinero lo haría usando una estaca, una cuerda y una azada.

Suma de los Radios de una ElipseLa Elipse es el conjunto de puntos en los que la distancia a DOS puntos determinados del plano suman lo mismo. Podéis apreciarlo en el dibujo adjunto: Si desde cualquier punto de la elipse trazamos dos rectas a los dos focos de la elipse, la suma de ambas rectas será siempre la misma, e igual a la longitud del eje horizontal de la elipse. También comprobaréis que en cada par de radios hay CINCO segmentos, todos de la misma longitud.

Para dibujarlo en un papel usaríamos DOS alfileres y un hilo largo atado a ambos. Al deslizar el lápiz por la distancia máxima del hilo dibujaríamos una elipse. Un jardinero lo haría con DOS estacas y una cuerda atada a ambas.

Elementos de la Elipse

Elementos de la ElipseUna Elipse tiene dos Ejes de Simetría, uno horizontal y otro vertical. El punto donde se cruzan es el Centro de la Elipse.

También tiene dos Focos situados en el eje horizontal, ambos a la misma distancia del Centro.

Si desde cualquiera de los focos trazamos una circunferencia desde el punto más cercano de la elipse, y otra desde el más lejano, tendremos dos circunferencias concéntricas. La elipse discurrirá siempre entre esas dos circunferencias.

Si elegimos un foco, el punto más cercano de la elipse, en el extremo del eje mayor, se llama Periapsis. Y al más lejano, en el extremo opuesto del eje, Apoapsis. Ambos están en el mismo eje horizontal.

En astronomía, esos puntos reciben el nombre de Perigeo y Apogeo, si es una órbita alrededor de la Tierra, o Perihelio y Afelio si es una órbita alrededor del Sol. Para cualquier otro astro, se llamarían Periastro y Apoastro.

Las Órbitas Planetarias

En el mundo natural vemos figuras irregulares y geométricas. Vemos rectas, círculos, prismas, hexágonos e incluso figuras tan complejas como espirales logarítmicas y fractales.

Y elipses. Principalmente en las hojas de algunas plantas.

Si observamos las estrellas y los planetas, allí no veremos elipses. Pero si seguimos su trayectoria en el espacio y la dibujamos en un papel, comprobaremos que la trayectoria de los planetas alrededor del Sol, o de los satélites alrededor de los planetas, son elipses más o menos excéntricas. NO VEMOS elipses en el cielo, pero los planetas siguen trayectorias con forma de elipse.

Los antiguos astrónomos, influidos por la idea de que la figura más perfecta es el círculo, pensaron que las órbitas debían ser circunferencias exactas. Como las observaciones no se correspondían con los cálculos imaginaron que los planetas debían seguir trayectorias epicíclicas, círculos dentro de círculos, y fueron complicando cada vez más el sistema hasta hacerlo tan farragoso como inútil.

Fue Johannes Kepler quien descubrió que todo era mucho más simple, que las trayectorias orbitales no eran circulares sino elípticas.

La Precesión Orbital

Si el Sol y la Tierra tuviesen tamaños de puntos y no hubiera ninguna masa a su alrededor que pudiera alterar sus movimientos, la órbita de la Tierra alrededor del Sol sería una elipse perfecta, que se repetiría indefinidamente por toda la eternidad.

Pero las estrellas y planetas tienen tamaños, rotan y a su alrededor hay otros planetas y satélites. Las fuerzas gravitatorias de todos esos cuerpos, distribuidos en distintas direcciones de una forma que, a la larga, resultan casi aleatorias, hacen que la trayectoria de la Tierra no sea una elipse perfecta, sino que Preceda.

La Curvatura del EspacioA todas estas fuerzas hay que añadir el efecto relativista de la masa del Sol. Tal como demostró Einstein, las masas deforman el espacio en su entorno, igual que una bola de billar deforma una lona elástica. El resultado puede sorprender, pero es real. Si la trayectoria de la Tierra fuera una circunferencia exacta, su longitud sería MENOR que si multiplicamos la distancia Tierra-Sol por 2.

Precesión PlanetariaTodas estas alteraciones hacen que las órbitas de todos los cuerpos precedan, unos más que otros. En el caso de la Tierra, cada año llegará a su Afelio unos 4'7 minutos antes que el año anterior.

Actualmente, la Tierra llega a su Afelio el 4 de Julio. Dentro de diez mil años el Afelio se producirá a finales de Mayo. Habrán de pasar 112.000 años para que el Afelio se vuelva a producir en las mismas fechas que hoy.

En el gráfico adjunto he dibujado cuatro órbitas con una excentricidad de 0'5 y con una precesión de 15 grados por órbita. Tomadlo sólo como un ejemplo, porque la excentricidad real de la Tierra es MUY pequeña, apenas llega a 0'017, y su precesión es de 0'003 grados, por lo que a simple vista sería imposible distinguir la imagen real de una circunferencia.

Ecuaciones de la Elipse

En las ecuaciones se usarán las siguientes variables:

a = Longitud del Semieje Mayor
b = Longitud del Semieje Menor
f = Distancia del Foco al Centro de la Elipse
= Excentricidad de los Focos

La Excentricidad de los Focos, representada con la letra griega Epsilon, , es un número entre CERO y UNO y se refiere a lo lejos que están los Focos del centro de la Elipse. Una excentricidad de CERO significaría que ambos focos están en el centro, y por tanto la elipse sería idéntica a una circunferencia. Una Excentricidad de UNO significaría que los focos estarían en los extremos del eje mayor, y la elipse sería tan alargada que sería, prácticamente, una recta.

En cualquier caso, la excentricidad se calcula con  Excentricidad de la Elipse

El Área de la elipse se calcula con mucha facilidad. Tal como el área de un círculo se calcula con *r², es decir, *r*r, en la elipse, desde el centro, tenemos un Radio Máximo, a, y un Radio Mínimo, b. El Área se calcula con *a*b.

La Longitud de la Elipse ya es más problemática: Hay que usar Integrales Elípticas de Segunda Especie. Afortunadamente existe una fórmula bastante sencilla que da un resultado muy aproximado a la longitud.

Longitud de una Elipse

Además disponemos de las siguientes ecuaciones:

Longitud del Semieje b de una Elipse

y

Ecuación de la Elipse

donde x e y son las coordenadas cartesianas de cualquier punto de la elipse.

Con todo ello ya podemos proceder al siguiente paso.

Programación de la Elipse

Existen varios métodos y fórmulas para dibujar una elipse, cada uno apropiado a diferentes sistemas de referencia.

Antes de proceder al dibujo debemos ver cuál de esos métodos será más fácil de usar.

Elipse con Coordenadas Cartesianas

Tenemos que recorrer el círculo completo, pero no estamos trabajando con coordenadas polares, sino cartesianas, por lo que tenemos que recorrer una de las dos coordenadas, x ó y, y calcular la otra.

Para cualquier valor de x el valor de y sería:

Ecuación Cartesiana de la Elipse

Entonces, para x = -a hasta a, calculamos y y podemos dibujar la parte inferior de la elipse yendo punto a punto por x,y.

Y repitiendo el bucle, dibujamos la parte superior por los puntos x,-y.

Como posteriormente nos va a hacer falta añadir la precesión, el segundo bucle debe ser desde a hasta -a.

Pero antes de proceder a la programación vamos a ver si podemos hacer lo mismo, con más facilidad, con coordenadas polares.

Elipse con Coordenadas Polares

En Wikipedia, Elipse, en el capítulo Coordenadas Polares, encontramos las siguientes fórmulas:

Radio centrado en el centro de la elipse

Ecuación Polar de la Elipse desde el Centro

siendo  la excentricidad y , Phi, pronunciado FI, es la dirección, el ángulo desde el centro en el que se encuentra un punto cualquiera de la elipse.

Radio centrado en un foco

Ecuación Polar de la Elipse desde un Foco

El proceso de dibujo, en ambos casos sería muy simple

Para  = 0 hasta 360 cada Grado

    Calcular r (centrado en elipse o en foco)

    Convertir coordenadas polares dr en cartesianas, xy

    Dibujar línea hasta xy

Definitivamente, es más fácil, así que esta es la fórmula que usaré para el dibujo de la elipse.

Además, cuando tenga que añadir la precesión, será mucho más fácil hacerlo con coordenadas polares.

El Dibujo de la Precesión Orbital

Para dibujar la precesión he recurrido a un truco. El programa calcula la posición de cada punto en una elipse perfecta, siempre la misma y en la misma posición, y en coordenadas polares, dirección y distancia. O Ángulo y Radio.

Pero antes de convertir las coordenadas polares en cartesianas, al ángulo le sumo un giro igual a los grados de precesión que hayáis indicado en el formulario, divididos entre 360 grados.

El resultado es bastante exacto, pero tiene un problema que hace que con excentricidades muy altas, mayores de 0'9, el dibujo no se corresponda exactamente con la trayectoria real de varias órbitas sucesivas.

Es un problema que me apuntaré para resolverlo más adelante, cuando termine otros proyectos que tengo en mente, pero de todas formas creo que en su estado actual el programa puede resultaros muy interesante.

Flores en el Cielo

Si indicamos una Precesión en un ángulo que sea divisor de 360 y dejamos las Vueltas calculadas por el programa, según la excentricidad podemos conseguir resultados sorprendentes.

  Elipse Excent=0'5 Prec=15  Elipse Excent=0'98 Prec=40Elipse Excent=0'4 Prec=90

Y hasta aquí hemos llegado. Espero que os haya gustado.

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