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Variaciones en el cálculo gravitatorio de una  masa con forma de columna en el espacio, según el método de cálculo.

Creada29-07-2018
Modificada29-07-2018
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Agosto3

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La Gravedad en una Columna

Gravedad sobre un cubo de 1000 KmSituemos una masa de un Kg sobre una masa cúbica de Mil Km de arista con una densidad de 6 g/cm³.

¿Cuál será la fuerza de atracción?

El cubo tiene una masa de 6e21 Kg, y la distancia de su centro de gravedad al Kg es de 500 Km.

Aplicando la fórmula de Newton:

Fórmula Gravedad sobre un Cubo

Gravedad sobre dos cubosSituemos ahora otro cubo idéntico debajo del primero.

El centro de gravedad del cubo inferior está a 1.500 Km del Kg. Su fuerza de atracción será:

 

Gravedad a Cubo Lejano

Sumando ambas fuerzas tendremos 1'7798 Newtons

¿Y si en lugar de calcular por separado las fuerzas de los dos cubos y luego sumarlas, calculáramos sólo la fuerza a la masa total?

En este caso la masa es de 1'2 e22 Kg y el centro de Gravedad de la masa queda a una distancia de 1.000 Km del Kg.

 

Gravedad a Dos Cubos

Esto no puede estar bien. ¿Cómo es posible que calculando la atracción a un bloque 1x2x1 el resultado sea menor que a un bloque de 1x1x1, con la mitad de masa?

Sencillamente ocurre que al añadir una porción debajo, el centro de gravedad del bloque se ha alejado. Y eso hace que el cálculo de la Fuerza de Gravedad del bloque completo sea menor. Cosa que no ocurre cuando hacemos los cálculos sobre cubos individuales, cada cubo que añadimos hace que la fuerza gravitatoria sea mayor.

Y la cosa se acentúa aún más conforme seguimos añadiendo cubos por debajo.

Gravedad a Columna de 5 CubosAl llegar a 5 cubos, tendríamos una diferencia de 0'32 a 1'89 N, casi 6 veces más.

Podéis  hacerlo fácilmente con la Calculadora de Gravedad en Planetas Cúbicos, introduciendo Tamaño de Porción 1000 Km, Número de Porciones  1x5x1 y Calcular Gravedad desde Media Cara Y. Para añadir cubos por debajo, sólo hay que aumentar el 5 y poner el número deseado.

Con 10 cubos, la diferencia sería de 0'16 a 1'93 Newtons, 12 veces más.

Con 20 cubos, la diferencia sería de 0'08 a 1'95 Newtons, 24 veces más.

Mientras más larga sea la columna, será menor la gravedad calculada sobre el bloque y mayor la calculada sobre las porciones. Y es evidente que la fuerza no puede ser menor, por lo que el cálculo gravitatorio de una columna no puede realizarse en bloque, sino que tiene que dividirse en porciones.

Tratar la columna como un bloque y calcular su fuerza de atracción a partir de su Masa Total a la distancia del Centro de Gravedad dará unos resultados completamente erróneos, muy inferiores a los que conseguiríamos si dividiéramos la columna en porciones cúbicas, calculáramos distancia y fuerza y sumáramos el resultado.

Tamaño Porciones Fuerza
1000 Km 1x10x1 1'93 N
500 Km 2x20x2 1'21 N
250 Km 4x40x4 1'29 N
125 Km 8x80x8 1'33 N
10 Km 100x1000x100 1'37 N

Por supuesto, mientras más pequeñas sean las porciones más ajustado será el cálculo a la realidad. En la tabla adjunta se observa que al usar porciones de 500 Km y duplicando el número de porciones en cada eje, para que el volumen, tamaño y masa sean las mismas, la fuerza sobre la Columna-Punto no varía, pero el cálculo por porciones sí ha disminuido bastante, hasta 1'21 N. A partir de ahí, mientras más pequeñas son las porciones, la fuerza vuelve a aumentar, aunque más levemente, pareciendo tender a 1'38 ó 1'4. Se puede suponer que en el límite, usando porciones de tamaño infinitesimal, la fuerza rondaría 1'4 N, pero para saberlo con precisión habría que saber cálculo integral, y temo que aquel día falté a clase.

El programa que he publicado en mi página tiene restricciones para que el tiempo de proceso no se eternice, pero en una versión local, sin restricciones, con cubos de 10 Km pero respetando el mismo volumen y masa, el resultado ha sido (tras medio minuto de cálculo) de 1'37 N.

Flotando sobre las Columnas

Hasta ahora hemos realizado los cálculos situándonos en el centro de la cima de la columna, pero ¿qué ocurriría si flotáramos por encima?

Por sencillez, tomemos el ejemplo de la columna de 10 cubos, con una longitud total de 10.000 Km y una masa de 6 e22 Kg. La distancia al centro de gravedad sería 5.000 Km y la fuerza G sobre el bloque sería 0'16 Newtons. El cálculo por porciones nos dice que la fuerza G será de 1'93 Newtons, doce veces mayor.

Gravedad a 5000 Km de una ColumnaSubamos ahora a una cierta distancia sobre la columna, por ejemplo, ya que la columna mide 10.000 Km, subamos la mitad de su longitud, 5.000 Km.

Como siempre, podéis hacer los cálculos a mano o recurrir a la Calculadora de Gravedad en Planetas Cúbicos, introduciendo -5000 en la coordenada Y de la Posición del Kg.

Al rehacer los cálculos, la gravedad en bloque es de 0'04 y por porciones es de 0'05. Simplemente al alejarnos de la columna la mitad de su longitud, ambas fuerzas han disminuido, pero sus diferencias se han reducido extraordinariamente, del 1.200% al 30%.

Al alejarnos a 20.000 Km, el doble de la longitud de la columna, las fuerzas serán 6'407e-3 y 6'671e-3 Newtons, con una diferencia del 4%. Y a 50.000 Km la diferencia es menor del 1%.

Recordemos que en todos los casos el cálculo más preciso es por porciones, pero mientras más lejos nos situemos más cercanos estarán los resultados de ambos métodos de cálculo.

Más cercanos, pero nunca idénticos.

La Gravedad junto a una Columna

Gravedad junto a una ColumnaSituémonos ahora en el centro de la cara X y calculemos las fuerzas. En este caso la situación es muy distinta a si nos situamos sobre el extremo. El Gradiente Gravitatorio se anula entre los dos extremos de la columna pero ahora es la Dispersión Gravitatoria la que asume el control y el resultado, por porciones, es mucho menor que el conseguido sobre la Columna-Punto.

Al estar a sólo 500 Km del centro de gravedad, la fuerza de atracción calculada al centro de Gravedad de la Columna-Punto es de 16 Newtons. Midiendo la atracción por porciones, es de 1'27 N, doce veces menor.

Y de nuevo al alejarnos hasta 50.000 Km por el eje Z la gravedad a la Columna-Punto es de 0'00157 mientras que por porciones es de 0'0016 N, con una diferencia de menos del 1%.

Conclusión

La gravedad desde la superficie o el exterior de una esfera se puede calcular por el método clásico, suponiendo toda la masa concentrada en un punto en el Centro de Gravedad de la esfera.

Pero al calcular la fuerza de atracción de una columna desde su extremo o desde el lado no podemos hacer la operación simple de calcular su masa y dividirla entre el cuadrado de la distancia a su centro de gravedad, porque eso nos dará un resultado distinto a la realidad. El cálculo por porciones tampoco es exacto, pero se acerca mucho más a la realidad. Y la diferencia puede ser MUY grande cuando estamos muy cerca de la columna, pero disminuye bastante mientras más lejos nos situemos. Tanto por el extremo como por el lado, al alejarnos a 5 veces la longitud de la columna la diferencia entre los dos métodos de cálculo es menor al 1%. Y será aún menor mientras más lejos nos situemos. Pero nunca serán idénticas.

Usando las herramientas que sé manejar, un poco de geometría, física y programación, hasta aquí es hasta donde puedo llegar, pero si alguno de los lectores domina el Cálculo Integral y se anima, podrá completar este estudio y saber la fuerza REAL con la que nos atraería desde el extremo o desde el lado una columna de 1.000x10.000x1.000 Km y cuánto difiere este resultado del conseguido por el método de la Columna-Punto.

Y si lo hace, le agradecería me lo comunicara en Cartas al Autor.

Perdón por la interrupción

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