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La Gravedad dentro de un planeta Hueco

Creada25-07-2018
Modificada25-07-2018
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Diciembre3

La Gravedad en un Planeta Hueco

Cuando tenía unos 13 años, descubrí una colección de novelas de bolsillo de ciencia ficción donde se narraban las aventuras de La Saga de los Aznar.

Las devoré con gran interés, sobre todo porque aparte de las típicas aventuras de guerras con extraterrestres también se mencionaban a menudo datos científicos. Por ejemplo, fue la primera novela de ciencia ficción que leí en la que se hablaba de la dilatación temporal producida a velocidades casilumínicas: Los protagonistas emprendían un viaje en una nave espacial, estaban viajando durante varios meses o años a casi la velocidad de la luz, y al regresar a la Tierra habían transcurrido siglos.

En una de sus aventuras, tras escapar de una invasión alienígena, los protagonistas tienen que refugiarse en un planetoide hueco, al que bautizan como Planetoide Valera.

Y un dato científico que mencionaban, era que en cualquier parte del hueco interior del planetoide se estaría en una situación de Gravedad Cero.

Demostración de Ingravidez en un Planeta HuecoLa explicación matemática de este fenómeno era que si trazábamos dos conos del mismo ángulo que seccionaran dos lados opuestos del planetoide, en la parte más cercana tendríamos una masa pequeña cercana y en la opuesta una masa mayor pero más lejana. La atracción entre ambas masas sería idéntica pero de sentido opuesto y, por tanto, se anularían entre sí, dejando una fuerza resultante igual a cero.

No importaba en qué posición del hueco, ni en qué dirección estuvieran orientados los conos, y no importaba tampoco lo estrechos o anchos que fueran, la resultante gravitatoria de las dos intersecciones de los conos con el casco del planetoide sería siempre cero.

Por esa época asumí que eso debía ser cierto, aunque yo no tenía los conocimientos matemáticos necesarios para demostrarlo, ni siquiera para entender los cálculos, si es que hubiese llegado a verlos alguna vez.

En Junio de 2.018 me propuse estudiar e intentar resolver varios problemas gravitatorios, y uno de ellos era cómo afectaban a la gravedad dos Variaciones Gravitatorias que, por lo que sé, nunca había visto mencionadas ni estudiadas en ningún sitio.

Para resolver uno de estos problemas programé una Calculadora de Gravedad Planetaria. Y al recordar el Planetoide Valera, decidí añadirle un parámetro para confirmar si en el interior de un planeta hueco la gravedad sería, efectivamente, cero.

Gravedad dentro de Planeta HuecoMi sorpresa fue mayúscula cuando comprobé que no lo era. Había una fuerza gravitatoria muy débil, pero apreciable, en dirección al centro del planeta.

Probé diversos parámetros, distintas situaciones, y en todas ellas había fuerza gravitatoria, de centésimas de G, pero incompatibles con la gravedad cero.

Después de buscar infructuosamente un error en mis razonamientos y en mis cálculos, empecé a pensar que tal vez el error estuviera en la teoría de los conos. Comencé a razonar diversas situaciones y consulté con un par de matemáticos que me confirmaron que el razonamiento de los conos opuestos era impecable, y por tanto debía ser yo, mi programa, el que estuviera equivocado.

Aún tardé tres semanas más en descubrir el fallo, y lo encontré, por supuesto, en mi programa.

Pero antes de explicar dónde estaba el fallo, demos un breve paseo por mis viejos recuerdos de aquella fantástica serie de Ciencia Ficción.

El Planetoide Valera

El Planetoide Valera es una esfera hueca del tamaño de la Luna, hecho de un material muy duro y denso llamado Dedona. Es 20.000 veces más denso que el agua, muy resistente a todo tipo de armas, excelente para construir blindajes y, sometido a corrientes eléctricas, con propiedades antigravitatorias, lo que permite construir naves espaciales capaces de aterrizar en los planetas y viajar por el espacio.

Todo esto es, por supuesto, ciencia ficción. La dedona no existe, ni ningún material tan denso (salvo en el interior de estrellas gigantescas o de agujeros negros). Tampoco es posible la existencia natural de planetas huecos, salvo que sean fabricados, lo que tal vez podamos hacer dentro de varios siglos. Pero abramos la mente a este par de imposibilidades y aceptemos el juego de estudiar científicamente el planetoide Valera.

El Planetoide Valera mide 1.600 Km de radio, con una corteza de 100 Km de grosor compuesta en su mayor parte de dedona de 20.000 g/cm³. Podéis consultar todas sus especificaciones técnicas en este excelente artículo, pero para lo que aquí nos interesa esos son los únicos datos necesarios.

Utilizando la Calculadora de Gravedad Planetaria, poniendo a cero todos los Radios en la Tabla de Densidades menos el de la Corteza en 1.600, con una densidad de 20.000, poniendo 1.600 como Distancia al Centro y 1.500 como Radio de Tierra-Hueca, el programa nos dice que el volumen sólido del planetoide es de 3 mil millones de Km³, con una masa de 6e25 Kg, 10 veces más que la Tierra, y la fuerza gravitatoria en la superficie sería 1575 Newtons, unas 160 veces mayor que en la Tierra.

Comprobémoslo por cálculos independientes al programa.

El volumen de una esfera se calcula con la fórmula 4/3*PI*r³.

Por simplificar los cálculos, vamos a usar Mm, Megámetros, millones de metros.

Una esfera de 1'6 Mm de radio tiene un volumen de 17'1573 Mm³.

La esfera vacía del interior tendría 1'5 Mm de radio, con un volumen de 14'1372 Mm³

Restándolo, quedaría un volumen de 3'02 Mm³, lo mismo que indicó el programa.

Si suponemos una densidad de 20.000 su masa será de 6'04 e25, también lo mismo que indica el programa.

Y calculando su fuerza gravitatoria, resulta ser de 1575 Newtons, 160 veces más que en la Tierra, lo mismo que ha dicho el programa.

Es decir, en la superficie exterior del Planetoide Valera pesaríamos 160 veces más que en la Tierra, y moriríamos aplastados por nuestro propio peso (sólo nuestra cabeza pesaría unos 1.000 Kg).

La verdad, no recuerdo que esto haya sido mencionado nunca en las novelas que leí hace ya 45 años. Supongo que sí y que el autor explicaría algún procedimiento para aplicar electricidad a la dedona con el fin de anular su fuerza gravitatoria mientras hubiera gente trabajando en el exterior.

Pero lo que nos interesa principalmente es la fuerza gravitatoria en su interior.

Para conocer la fuerza gravitatoria en la superficie interior del casco, cambiemos el parámetro Distancia al Centro y pongamos una distancia de 1.500 Km. La parte del casco de dedona que quede sobre nosotros nos atraerá hacia arriba, restándose de la fuerza de atracción de la parte del casco que quede bajo nosotros.

El resultado es que estaremos sometidos a una fuerza gravitatoria de 7'5 Newtons, aproximadamente un 25% menos que en la Tierra, pero no hacia el casco, sino hacia el centro del planeta.

Gravedad dentro del Planetoide ValeraEn el gráfico adjunto podéis ver la fuerza gravitatoria a distintas distancias, cada 300 Km, desde la superficie interior hasta el centro. Se puede apreciar cómo la fuerza de atracción hacia el centro del planeta es cada vez más pequeña conforme nos alejamos del casco y nos acercamos al centro. Una vez llegados al centro, entonces sí, la gravedad resultante es cero.

Esto entra en contradicción con la explicación de los dos conos, lo cual induce a pensar que, o bien mi método de cálculo está equivocado, o lo está la explicación de los dos conos.

¿Dónde está el error?

Pues lamento decir, después de numerosos cálculos y pruebas, que el error está precisamente en mi programa.

Las cantidades que he puesto en el gráfico son las que se consiguen dividiendo el planeta en porciones de 10 Km, pero si reduzco el tamaño de las porciones a 5 Km, la fuerza G en la cara interna es de 4'1 N, y si la reduzco aún más, hasta 2 Km la fuerza es de 1'9.

La última prueba que he hecho ha sido con porciones de 1 Km, que ha tardado 8 minutos en calcularse (3 mil millones de Km³, 45 mil millones de operaciones matemáticas) y el resultado ha sido de 1'0064 Newtons.

Pienso que si sigo haciendo las porciones cada vez más pequeñas, el resultado tenderá a ser cero.

Así que parece que el argumento de los conos es correcto, y todo esto me lo hubiera podido ahorrar si hubiera ido a clase el día que explicaron el Cálculo Integral.

Mi agradecimiento a José Carlos Canalda, por sus valiosos comentarios y guía.

Reproducido en Sitio de Ciencia Ficción

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