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Calcular la Fuerza Gravitatoria de un cuerpo no esférico, y las variaciones por Gradiente y Dispersión gravitatorias

Creada23-07-2018
Modificada23-07-2018
Total Visitas30
Octubre12

Fuerza Gravitatoria en Planetas Cúbicos

Este programa permite calcular la fuerza gravitatoria que ejerce una masa que no sea esférica sobre una masa muestra de un Kg, y compararla con la fuerza que ejercería si se calculara por porciones. Con ello se hace evidente que los efectos de las Variaciones Gravitatorias (Dispersión y Gradiente), tienen un efecto MUY acusado cuando estamos en la superficie o a una distancia muy corta de un cuerpo que no sea esférico.

Parámetros de Cálculo

Tamaño de Porción Km
Densidad g/cm³
Número de Porciones X X
Total 1000 Porciones
Volumen Total 0 Km³
Masa Total 0 Kg
Calcular Gravedad desde
Posición del Kg XX Km
Distancia al Centro 0 Km
Gravedad al Centro Fuerza Newtons

Cálculo por Porciones

Fuerza en Eje X Fuerza Newtons
Eje Y Fuerza Newtons
Eje Z Fuerza Newtons
Suma de Vectores Fuerza Newtons
Masa-Punto/Porciones Fuerza %

Resultados

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Tiempo de Cálculo 1 segundos

Explicación del Programa

Tal como hemos visto en otros artículos de esta sección, la fuerza gravitatoria que ejerce una esfera sobre cualquier masa exterior a ella se puede calcular indistintamente suponiendo toda la masa concentrada en un punto o dividiendo el planeta en porciones y calculando la suma de las fuerzas de cada porción.

Pero eso sólo funciona en una esfera y desde la superficie o el exterior. Cuando las masas tienen formas no esféricas o nos situamos en el interior del planeta, la forma de calcular su gravedad es dividiéndolas en porciones y sumando sus fuerzas.

En este programa hacemos eso. Con porciones de un tamaño determinado construimos masas más grandes, de forma cúbica o parlelepípeda, y medimos su fuerza gravitatoria desde las esquinas, o desde el centro de las aristas o las caras. En todos los casos hacemos también el cálculo con la fórmula de Newton, suponiendo toda la masa concentrada en el centro. Y el resultado es que hay una enorme diferencia según la forma en que se calcule.

Como datos iniciales, he usado porciones de 1.000 Km de arista, y con ellas he fabricado un cubo de 10x10x10, dando 10.000 Km de arista. Esto da un volumen similar al de la Tierra.

Como densidad he puesto 6 g/cm³, con el fin de que la masa total sea similar a la de la Tierra.

A partir de ahí podéis ver que ya existen importantes diferencias en el resultado, según se utilice la ecuación de Newton o haciendo el cálculo por porciones.

Para que sirva de referencia:

  Masa-Punto Por Porciones
Desde el Vértice 5.3392 6.5871
Desde Media Arista 8.0088 8.5645
Desde Media Cara 16.0176 10.0839

Podéis cambiar todos los parámetros de cálculo, y dibujar un paralelepípedo que no sea cúbico, y en cada caso calcular la fuerza por porciones y compararla con la fuerza sobre el Cubo-Punto.

Pero en todo caso estas diferencias sólo se darán en distancias cercanas. Si nos alejamos del Cubo las diferencias por la Dispersión y el Gradiente Gravitatorios son cada vez menores y a una distancia de 10 veces la diagonal, los resultados por Newton y por Porciones casi coinciden.

Por supuesto, nunca vamos a encontrar en el espacio un objeto cúbico de este tamaño. Su misma fuerza gravitatoria hará que adquiera una forma esférica, pero en su momento, si encontraremos asteroides de forma más o menos irregular, a la hora de calcular su fuerza gravitatoria habrá que tener en cuenta si nos acercamos por un extremo o por el lado. Aunque a una distancia superior a diez veces el tamaño del objeto la diferencia entre ambos métodos de cálculo es bastante pequeña, mientras más nos acerquemos la diferencia se va haciendo mayor.

Gravedad en Planeta ParalelepipedoEn un asteroide que midiese 1x1x2 (en cualquier tamaño) la fuerza gravitatoria calculada por el método Masa-Punto, en mitad del asteroide sería cuatro veces mayor que si nos situamos en un extremo. Pero si hacemos el cálculo por porciones la diferencia es de un 10% más por el extremo que por el lado.

Cuando una nave espacial se acerque a un asteroide irregular, para calcular su atracción gravitatoria con la mayor precisión posible habría que hacer un mapa 3D del asteroide, dividirlo en porciones de un tamaño manejable, calcular la atracción a cada porción y sumar sus vectores de fuerza. Fiarse del cálculo por el método de la Masa-Punto daría resultados erróneos que podrían hacer fracasar una misión de acercamiento.

Análisis de Programación y Desarrollo

Después de haber programado la Calculadora de Gravedad Planetaria, este programa ha sido mucho más sencillo, en apenas 4 horas he podido echar a funcionar las primeras pruebas. En depuración y corrección de errores he tardado un par de horas más.

Con una pega. En la primera versión partía de un cubo y lo dividía en porciones. Y podía calcular la gravedad del cubo desde la esquina, la mitad de una arista o de una cara. Pero ¿y si quería calcular la gravedad en un paralelepípedo de distintas longitudes por cada eje XYZ?

Adaptar el programa para la versión 2 me costó un par de horas más, pero ahora podía definir el tamaño, no del cubo, sino de las porciones, y decidir cuántas porciones debía haber en cada eje.

Lo que sí me ha costado mucho más tiempo ha sido DIBUJAR el dichoso cubo de las narices. La verdad, nunca me han interesado los gráficos y para convertir un paralelepípedo tridimensional en una imagen bidimensional para dibujarla en pantalla me ha costado aprender un par de cosillas que necesitaba para completar el dibujo y que, por suerte, ya he olvidado.

Y también importante, el tamaño de las porciones tenía que adaptarse al tamaño del lienzo de dibujo.

En total creo que han sido unas 15 ó 20 horas para dibujar el paralele... ¡leches!

Para realizar los cálculos, al principio coloqué un botón pero cuando vi que con hasta 50 porciones por arista el proceso tardaba menos de medio segundo (0'35) decidí quitarle el botón y ejecutar el proceso cada vez que se cambiara cualquier dato.

Cuando di por terminado el programa, usando sus resultados me puse a completar el artículo sobre las Variaciones Gravitatorias y me hizo falta un dato que éste programa no me daba pero que podría darme fácilmente.

En la versión 2 podía calcular la fuerza gravitatoria, por el método Masa-Punto y Porciones, desde una esquina, el centro de tres medias aristas o de tres medias caras. Y comparar la diferencia entre los resultados de ambos métodos de cálculo.

Pero ¿y si quería calcular la fuerza desde un punto alejado de la superficie?

En la versión 3, al seleccionar esquina, arista o cara, inmediatamente debajo aparecen las coordenadas del Kg que queremos pesar. Podemos cambiar esas coordenadas y darles el valor que deseemos. No os lo recomiendo, a no ser que leáis con atención el siguiente párrafo.

El punto 0,0,0 está situado en una esquina del cubo. Si elegimos medir la gravedad desde el centro de la cara Y, aparecerán los valores X y Z. El valor de Y estará a CERO. Introduciendo en Y un valor positivo, bajaremos. Si es negativo, subimos. Os recomiendo que vayáis introduciendo valores de mil en mil Km, siempre en negativo, para ver cómo los cálculos por Masa-Punto y por Porciones se van haciendo más iguales conforme nos vamos alejando de la superficie del cubo.

A una distancia de 2 veces el tamaño del cubo, la diferencia ya es menor que un 1% y a 5 veces es menor que un 0'01%. A 10, ya no hay diferencia hasta el quinto decimal. Lo que indica que las variaciones gravitatorias no tienen mucha importancia, más que en las distancias cortas. Que es donde un astronauta se la juega.

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