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Estudio de la Gravedad y variaciones, Gradiente Gravitatorio y Dispersión Gravitatoria, en masas no esféricas.

Creada09-07-2018
Modificada09-07-2018
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Septiembre12

La Gravedad de Newton

En 1.685, Isaac Newton postuló que entre todas las masas del Universo se ejercía una fuerza de atracción mutua.

No fue capaz de proponer cuál era la naturaleza y el origen de dicha fuerza, fue Einstein quien dos siglos más tarde propuso y demostró esa explicación. También cometió un error al suponer que esa fuerza se transmitía de forma instantánea a través de la distancia. Maxwell fue quien sacó a la luz ese error. Pero dadas las limitaciones de los conocimientos de aquella época, el genio de Newton se adelantó varios siglos a su tiempo.

Newton no sólo postuló la existencia de la Fuerza de la Gravedad, también fue capaz de establecer una fórmula matemática para calcular su intensidad.

Dos cuerpos se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, por una Constante de Gravitación Universal.

Que, puesto en lenguaje matemático, se escribe de la siguiente forma:

 

Fórmula de la Fuerza de Gravedad

Con ella se puede calcular la fuerza con que la Tierra atrae a una manzana o a la Luna, o dos bolas, una de acero y otra de madera, se atraen entre sí.

¿Cuánto pesa un Kilogramo?

Tomemos un ejemplo sencillo: Una pesa de 1 Kg está situada en la superficie de la Tierra, que tiene una masa de 5'974 4Kg (Cuatrillones de Kg) y un radio, en el ecuador, de 6.378 Km. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria entre ambas masas?

Por razones de sencillez usaré la Notación Exponencial Abreviada (5 e12 = 5 X 1012, un 5 con 12 ceros).

Además, al desarrollar la fórmula completa de Newton con el valor de G, tenemos

Fórmula de la Fuerza de Gravedad

Como vemos, la presencia de Kg y m con el mismo exponente en numeradores y denominadores hace que se anulen entre sí, quedando cómo única magnitud el Newton. En adelante, para simplificar las fórmulas, sólo indicaré las cantidades, no las magnitudes.

Fuerza de Gravedad de la Tierra

Un objeto con una masa de 1 Kg en la superficie de la Tierra es atraído con una fuerza de 9'8 Newtons.

Variaciones Gravitatorias

Equivalencia de la Fuerza de Gravedad La fórmula de Newton está basada en una premisa fundamental: Para calcularla asumimos que la atracción gravitatoria se ejerce entre los centros gravitatorios de los dos cuerpos.

Si redujésemos la Tierra al tamaño de un punto, el mismo Kg situado a 6.378 Km de la Tierra-punto experimentaría la misma fuerza de atracción.

Pero ¿es correcta esta premisa?

Hagamos un par de experimentos mentales para comprobarlo.

El Gradiente Gravitatorio

Gradiente Gravitatorio en la Fuerza de GravedadDividamos la masa de la Tierra en dos masas iguales y coloquemos una Mil Km más cerca y la otra Mil Km más lejos. El centro de gravedad común de ambos objetos sigue estando a la misma distancia, y si la premisa fuera cierta la suma de las dos fuerzas sería la misma que antes.

Gravedad a 5378 Km

Gravedad a 7378 Km

Suma de Fuerzas a 5378 y 7378 Km

No es la misma cantidad que si suponemos toda la masa de la Tierra en su centro de gravedad. Es una fuerza mayor, así que la premisa fundamental parece ser falsa.

La Dispersión Gravitatoria

Dispersión Gravitatoria a 1000 Km del Centro de GravedadSituemos ahora las dos mitades de la Tierra a mil Km del centro de gravedad de la Tierra, pero no más cerca y más lejos, sino hacia los lados.

En este caso la distancia desde el Kg hasta cada una de las semitierras es ligeramente mayor, según el teorema de Pitágoras.

Distancia a masas en Dispersión Gravitatoria

Y la fuerza de atracción del Kg a cada una de ellas sería

Fuerza en Dispersión Gravitatoria

Vectores de Fuerzas en Dispersión GravitatoriaPero estas fuerzas no están dirigidas exactamente hacia el centro de Gravedad de ambas semitierras, sino hacia un punto situado a 1.000 Km de ese centro de atracción. En realidad ambas fuerzas podemos descomponerlas en dos vectores verticales y dos horizontales. Las magnitudes de los vectores horizontales son idénticas y opuestas, por lo que se anularían entre sí.

Para calcular el componente vertical podríamos recurrir a la trigonometría, pero es más fácil e intuitivo aplicar el teorema de Pitágoras y luego una sencilla regla de tres.

La Hipotenusa es al Cateto Vertical
como la Fuerza Directa es a la Fuerza Vertical

La distancia del Kg hasta una Semitierra ya la hemos calculado en 6.455.918 m.

6.455.918 es a 6.378.000
como 4'7831 N es a Fv

De donde tenemos que

Fuerzas en Dispersión Gravitatoria

Y sumando los dos componentes verticales tendremos una fuerza gravitatoria de 9'4507 N, menor que la que suponíamos correcta en el caso de la Tierra-punto.

La Tierra en Diamante

Gravedad a 6 masas en DiamanteSi combinamos ambos razonamientos podemos imaginar ahora la Tierra dividida en seis masas iguales, emparejadas de dos en dos en tres direcciones perpendiculares y todas a Mil Km del centro de gravedad común de todas ellas.

La configuración sería similar a las seis esquinas de un octaedro.

Como los cálculos ya están hechos para masas de la Tierra dividida por dos, en este caso hay que dividirlas por seis, y los resultados son:

Fuerza a la masa más cercana = 2'2975 N

Fuerza a la masa más lejana = 1'2207 N

Fuerzas a las otras cuatro = 1'5944 N * 4 = 6'3774 N

Fuerza total = 9'8957 N

La Tierra Cúbica

Gravedad en un Planeta CúbicoPor último vamos a calcular la Gravedad en un Planeta Cúbico, con el mismo volumen y masa que la Tierra pero dispuesta en un cubo de 10.000 Km de arista.

Situándonos en el centro de una de sus caras, estaríamos a 5.000 Km del centro de gravedad, por lo que al calcular su fuerza según la ecuación de Newton, suponiendo toda la masa concentrada en un punto, tendríamos:

Gravedad a 5000 Km del Centro de la Tierra

Es una fuerza intensa, de casi el doble que en la Tierra, pero es porque estamos a sólo 5.000 Km del centro, mientras que en la superficie de la Tierra estamos a 6.378 Km.

Por contra, si en vez de estar en el centro de una cara estuviéramos en el centro de una arista, la fuerza gravitatoria sería la mitad, 8'0088 N. Y desde una esquina, 5'3392 N.

Pero por usar la misma distancia que en los casos anteriores, a 6.378 Km la Fuerza de Gravedad es de 9'8012 N.

Veamos ahora lo que ocurre si en vez de hacer un sólo cálculo hasta el centro de la masa, dividimos el cubo en 1.000 porciones (10X10X10), calculamos la distancia entre el Kg y el centro de esa porción, calculamos la fuerza de atracción correspondiente y la separamos en sus tres componentes XYZ.

Al final del proceso recombinamos los componentes XYZ y tendremos una fuerza igual a 7'7212 Newtons, mucho menor que la que nos dio el cálculo en el supuesto de una Masa-Punto.

Comparación de Resultados

En los casos considerados, según cómo se distribuya la masa de la Tierra, pero siempre con el centro de gravedad a la misma distancia, la fuerza de atracción sobre una masa de 1 Kg es:

Suponiendo una Tierra-punto 9'8012 N
Dos semitierras en Vertical 10'5547 N
Dos semitierras en Horizontal 9'4507 N
Seis sextos de Tierra en Diamante 9'8957 N
Planeta Cúbico  7'7212 N

Las diferencias son lo bastante significativas para concluir que el cálculo de la fuerza gravitatoria no lo podemos realizar suponiendo que TODA la masa de la Tierra está concentrada en un punto en su centro de gravedad.

Pero antes de llegar a esta conclusión, hagamos un último intento.

La Fuerza de la Tierra Real

Para todos estos cálculos hemos supuesto cinco distribuciones distintas de la masa de la Tierra, pero no hemos considerado aún la situación de la Tierra Real.

Si quisiéramos hacerlo lo que tendríamos que hacer es calcular la atracción a cada átomo de la masa terrestre teniendo en cuenta a qué distancia y en qué dirección está. Pero ello nos llevaría a una cantidad de operaciones de cálculo que el ordenador más rápido tardaría miles de millones de años en completar.

Además, no sabemos con seguridad cuál es la posición de todos estos átomos, por lo que se impone hacer una aproximación diferente.

Gravedad en Planeta TierraDividamos la Tierra en volúmenes del mismo tamaño. Según a qué distancia estén del Centro de la Tierra tendrán una densidad y un peso determinados. Y una vez conocida su masa calcularemos la fuerza con la que atrae a nuestro Kg de muestra.

Para ello haremos un programa de ordenador que recorra cada porción del volumen de la Tierra y sume todas las fuerzas calculadas.

A quien le guste la programación podrá disfrutar del Análisis de Programación. A quien no, le sugiero una lectura rápida para extraer las ideas más interesantes antes de pasar a los resultados.

El programa ya terminado se encuentra en Calculadora de Gravedad Planetaria y os permitirá conocer los razonamientos aplicados para este problema y los resultados obtenidos.

Y el resultado es que en un planeta esférico, tomando porciones de 100 Km, la diferencia entre los dos métodos de cálculo es aproximadamente de un 0'2%. Pero si las porciones las hacemos más pequeñas, hasta 10 Km de arista, la diferencia se reduce hasta menos del 0'02%. Es de suponer que la diferencia será aún menor mientras más pequeñas sean las porciones, y que al llegar a un tamaño infinitesimal la diferencia será infinitesimal, prácticamente del 0%.

Con todas las salvedades posibles, considerando todas las variables a tener en cuenta, la Fuerza Gravitatoria con la que un planeta atrae a una masa en su superficie es prácticamente la misma que si supusiéramos toda la masa del planeta concentrada en un punto en su Centro de Gravedad.

En un planeta esférico no se producen variaciones debidas al Gradiente Gravitatorio y la Dispersión Gravitatoria.

Conclusión

La gravedad de un planeta esférico desde la superficie o por encima de la superficie se puede calcular indistintamente asumiendo que toda la masa se encuentra concentrada en su centro gravitatorio o dividiéndolo en porciones, calculando la fuerza de atracción de cada porción y sumando luego todos los vectores de fuerza.

Pero los resultados varían de forma bastante acusada si medimos la fuerza de gravedad desde el interior del planeta o si nos enfrentamos a un planeta que no sea esférico. O que siendo esférico, su distribución de densidades no sea simétrica.

En los casos anteriores, tratándose siempre de la misma masa, con centro de gravedad común idénticos, pero distribuida en diversas distribuciones que no tenían simetría esférica, se producen variaciones gravitatorias que deben ser tenidas en cuenta.

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