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Calcular la Fuerza Gravitatoria que ejerce la masa de un planeta sobre un objeto situado en la superficie o cerca de ella

Creada09-07-2018
Modificada10-07-2018
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Diciembre5

Calculadora de Gravedad Planetaria

Este programa permite calcular la Fuerza Gravitatoria que ejerce la masa de un planeta sobre un objeto de un Kg situado a una distancia determinada del centro del mismo, incluso desde dentro de la masa planetaria. Para ello dividimos el planeta en porciones cúbicas, calculamos su densidad y masa y la atracción gravitatoria que ejerce cada porción sobre el Kg de muestra.

Datos Oficiales de la Tierra

Radio Ecuatorial 6.378 Km
Volumen 1'0832 e12 Km³
Masa 5'9736 e24 Kg
Densidad Media 5'515 g/cm³
Fuerza Gravitatoria 9'7803 Newtons

Parámetros de Cálculo

Distancia al Centro de la Tierra Km
Tamaño de Porción Km
Descartar Porciones Cercanas Km
Radio Tierra-Hueca Km

Tabla de Densidades

Zona Radio Densidad Color
Núcleo Interno
Núcleo Externo
Manto Interno
Manto Externo
Corteza

Resultados

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Número de Porciones 17005
Volumen 1.088e12 Km³
Masa 6.008e24 Kg
Densidad Media Densidad g/cm³
Fuerza Calculada Fuerza Newtons
Fuerza en Tierra-Punto Fuerza Newtons
Diferencia Fuerza %

Datos del Proceso

Número de Iteraciones 17005
Operaciones Matemáticas 17005
Tiempo de Cálculo 1 segundos

El  cálculo se realiza también, para que sirva de comparación, con la fórmula de Newton, que está basada en el supuesto de que la masa del planeta puede concentrarse en un punto, en el centro de gravedad, sin que varíe el resultado, pero esa suposición es cierta sólo en el caso de esferas perfectas, y siempre que nos situemos en la superficie o por encima de ella.

Si nos situamos por debajo de la superficie, no podemos aplicar la fórmula estándar, ya que la parte del planeta que quede por encima de nuestra cabeza ejerce una fuerza inversa, y habría que restarla.

Tampoco es cierta si nos situamos en la superficie de un planeta o asteroide irregular, o incluso en un planeta regular que no sea una esfera, por ejemplo, un cubo.

En todos estos casos el resultado será distinto del que tendríamos suponiendo toda la masa concentrada en el centro de la Tierra.

Todo ello está explicado más extensamente en Variaciones Gravitatorias. Creo que os interesará.

Y ahora, unas aclaraciones.

Procedimiento de Cálculo

Básicamente, el programa funciona de la siguiente forma:

Divido el planeta en porciones cúbicas del mismo tamaño.
Las recorro en las tres dimensiones, x,y,z.
Para cada una de ellas:
Calculo la distancia de xyz al centro.
Según la distancia, calculo su densidad, y su masa.
Calculo la distancia de xyz al Kg.
Calculo la Fuerza de atracción hasta el Kg.
Extraigo la Componente Vertical de esa fuerza
Sumo todas las fuerzas. 

El motivo de sumar sólo la componente vertical de cada vector de fuerzas es que para ahorrar tiempo de proceso sólo recorro las porciones de un cuadrante, y todos los componentes horizontales de cualquier vector se anularían con los de la porción simétrica del cuadrante opuesto.

El proceso es un poco más complicado que esto, pero para entender lo básico no se necesitan más detalles.

Aunque si os gusta conocer los detalles, podeis ver cómo he ido haciendo el Análisis de Gravedad Planetaria, estudiando el problema y convirtiendo los razonamientos en un proceso que hasta una máquina, sin ninguna inteligencia pero con gran capacidad de ejecutar órdenes y cálculos a toda velocidad, pueda realizar.

Tabla de Densidades

Para que sirva de referencia, he incluido los datos de Tamaño, Volumen, Masa, Densidad y Gravedad en la superficie de la Tierra, extraídos de Wikipedia.

También de allí he tomado los datos de las densidades de las capas internas de la Tierra, desde el Núcleo a la Corteza. El programa, por necesidad, no tiene en cuenta el hecho de que las densidades no son homogéneas, la densidad del Manto va aumentando desde 3'5 hasta 5'5 conforme descendemos, pero tener en cuenta estos detalles haría el programa más lento y, para los efectos de este cálculo resulta innecesario.

En todo caso, para quien desee hacerlo, se pueden cambiar los radios y densidades de las cinco capas del planeta. El programa tomará el Radio de la Corteza como el radio de la superficie del planeta.

Distancia al Centro del Planeta

El parámetro Distancia al Centro del Planeta contiene la distancia a la que está el Kg de masa que está siendo atraído por el planeta. Inicialmente está puesto el mismo radio del planeta, y la diferencia entre la gravedad calculada y la que se produciría en el caso de una Tierra-Punto es de menos de un 1%. Si introducimos distancias mayores, o porciones de menor tamaño, la diferencia disminuye aún más, haciéndose insignificante.

Ojo: También podemos elegir una distancia menor, que esté DENTRO de la masa planetaria. En tal caso la fuerza gravitatoria de la masa que esté por encima se restará de la gravedad de la masa que esté por debajo. Como esto no se tiene en cuenta en el cálculo de la Tierra-Punto, la diferencia entre ambos cálculos es cada vez mayor, hasta llegar, con una distancia 0, a una gravedad que, calculada por porciones sería CERO, pero según el método estándar sería INFINITO.

Por lógica, se puede ver que si estamos en el centro del planeta la fuerza gravitatoria será 0, no infinito.

Tamaño de las Porciones

Inicialmente se dividirá el planeta en porciones cúbicas de 100 Km de arista. Podemos elegir porciones más grandes o pequeñas, pero tened en cuenta que, mientras más pequeñas sean, el proceso será más lento. En tal caso es posible que el navegador detenga el proceso y os avise de que un script está ralentizando el sistema, preguntando si queréis interrumpirlo. A pesar de lo alarmante de este mensaje, no existe ningún peligro de perjudicar el ordenador, y si le decís que continúe llegará hasta el final del cálculo.

La velocidad dependerá de vuestro ordenador. Para que os sirva de referencia, os pongo los resultados en el mío, que ya es algo antiguo.

Tamaño Porciones Operaciones Tiempo
100 135.835 7'6 M 0.12
50 1 M 61 M 0.77
20 17 M 952 M 11
10 135 M 7612 M 76

En este último caso el navegador ha mostrado el susodicho mensaje, pero no ha interrumpido el proceso y a los 76 segundos se ha quitado el aviso y han aparecido los resultados.

Lo más recomendable es que trabajeis en los tamaños de 50 o 100 Km, que tardan menos de un segundo, y que ya son bastante precisos. 

Y si tenéis un ordenador más moderno que el mío, seguro que será bastante más rápido.

Límite de Descarte

En una masa esférica no hay diferencia entre la atracción calculada por porciones y la calculada suponiendo la masa concentrada en un punto. Pero en una masa cúbica, como las porciones que uso para recorrer el planeta, sí.

En la primera versión de este programa, cuando el Kg quedaba dentro de una porción, los resultados del cálculo se iban al garete, pudiendo llegar, si coincidía en el centro de la porción, a infinito. Para evitarlo añadí el parámetro de descarte, para ignorar las porciones que estuviesen demasiado cerca del Kg.

En esta última versión del programa, ya no es posible que ocurra esto, pues lo máximo que puede acercarse el Kg a una porción es por la arista. Pero he dejado el parámetro por si alguien quiere utilizarlo.

Gravedad descartando 1000 Km desde los polosSi introducimos, por ejemplo, 500 Km, las porciones cuyo centro queden a menos de 500 Km del Kg serán descartadas. Y para no dejar el planeta más desequilibrado de lo que ya está, también los que estén a menos de 500 Km de las antípodas.

Probadlo.

Descarte de la Tierra Hueca

Sobre 1.973 leí una serie de novelas de Ciencia Ficción, La Saga de los Aznar, en la que el protagonista, después de huir de la Tierra por una invasión alienígena, se refugiaba en el Planetoide Valera, un asteroide hueco. El autor afirmó que, en el interior hueco del planetoide, estuviéramos donde estuviéramos, estaríamos en Gravedad Cero, aunque estuviéramos pegados a la superficie interior. Una masa cercana por arriba y una masa mucho mayor pero más lejana por debajo, harían que las fuerzas de ambas partes se anularan entre sí.

Al programar esta calculadora decidí comprobar si esto era cierto y he añadido un parámetro para indicar el Radio Interior de un planeta hueco.

Gravedad dentro de un Planeta Hueco

Me he llevado una sorpresa mayúscula cuando el programa ha informado de que existía una fuerza gravitatoria desde la superficie interior hacia el centro del planeta, aunque mucho menor que la existente en la superficie exterior.

Si probáis Distancia=3000 y Hueco=3000, estaréis en la superficie interior del hueco y experimentaréis una fuerza gravitatoria de 0'045 Newtons hacia el centro del planeta. La fuerza normal, en la superficie de la Tierra, es de 9'8 Newtons, lo que significa que allí pesaríamos 200 veces menos. Una persona media pesaría un cuarto y mitad de Kg (375 g).

PERO... si reducís el tamaño de las porciones, la gravedad calculada desde dentro del hueco disminuye. Y, tal como en otro caso ya mencionado, podemos suponer que si usáramos porciones de tamaño infinitesimal la fuerza resultante sería 0. 

Problemas de trabajar con un proceso iterativo en vez de usar cálculo integral.

Ver La Gravedad en Planetas Huecos

La Tierra Real

Por mucho que nos empeñemos, los datos resultantes de estos cálculos se parecen, pero no son idénticos, a la Tierra Real.

En primer lugar, las porciones cúbicas hacen que la superficie del planeta esté dentada, escalonada, no siendo una esfera perfecta. Como ya he dicho, en una masa esférica da lo mismo calcular la gravedad desde el centro que por porciones, siempre que sean porciones pequeñas. Las porciones cercanas a la superficie o a los límites entre las cinco capas interiores se calculan como si estuvieran completas con una densidad homogénea, lo que tampoco es cierto en la realidad.

La forma de conseguir resultados mucho más precisos sería mediante cálculo integral, lo que de momento está fuera de mis conocimientos. Sin ello, los resultados más precisos se consiguen dividiendo el planeta en porciones, mientras más pequeñas mejor, con el inconveniente de que mientras más pequeñas sean las porciones más tiempo tardará el programa en ejecutarse.

En cualquier caso, puede serviros para estudiar varios datos interesantes de la gravedad de los planetas.

Me alegraré si alguien le encuentra alguna otra utilidad al programa. A mí me ha servido bastante, además de haber disfrutado haciéndolo.

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