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Calcular el Numero PI por el Metodo de Arquimedes, midiendo el Perímetro  de Polígonos Regulares inscritos y  circunscritos a una Circunferencia

Creada01-10-2019
Modificada30-09-2019
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Noviembre2

Calcular el Valor de Pi
por el Método de Arquímedes

Cálculo de PI por Polígonos

Número de Lados:

Ángulo de cada lado: 72º

Cálculo por Perímetros
    Interior: 6 m
    Exterior: 6'9 m
    Media: 6'49 m
    Pi » 3'2

Cálculo por Superficies
    Interior: 2'59
    Exterior: 3'46
    Media: 3'03

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Con esta herramienta podemos emular el trabajo de Arquímedes, que ideó un método geométrico y matemático para calcular el valor de Pi.

Su método consistía en dibujar un polígono regular inscrito en un círculo y medir su perímetro. Éste sería inferior a la circunferencia, pero mientras más lados tuviera el polígono la diferencia sería cada vez menor.

Teóricamente, al dibujar un polígono de infinitos lados, éste coincidiría exactamente con la circunferencia, lo que permitiría conocer el valor exacto de Pi.

El programa sólo requiere un parámetro, el número de lados, que tiene que ser igual o mayor que 3, sin ningún límite superior. A partir del mismo se dibujarán DOS polígonos con ese número de lados, uno inscrito y otro circunscrito en una circunferencia cuyo radio es 1.

El programa calculará el perímetro de ambos polígonos, y la media, dividida por 2, será el valor de PI calculado para ese número de lados.

Hay que hacer notar que mientras mayor sea el número de lados, la diferencia entre ambos polígonos será cada vez menor, el cálculo será más preciso, pero a partir de cierta cantidad los dos polígonos serán indistinguibles en pantalla de la circunferencia real, por lo que sólo veremos una circunferencia.

A partir de 1.800 lados, los dos perímetros, el inscrito y el circunscrito, son iguales hasta la millonésima de metro, y el valor estimado de Pi es correcto hasta el sexto decimal.

Historia del número Pi

Hace miles de años, antes de la construcción de las pirámides, los matemáticos egipcios y babilónicos se enfrentaron a un problema matemático: ¿Cuánto mide una circunferencia?

Una circunferencia es fácil de dibujar. Basta clavar una estaca en el terreno y con una cuerda tirante se puede dibujar la circunferencia con bastante precisión. Y, por lógica, la longitud de la circunferencia debería tener una longitud proporcional a la longitud de la cuerda usada. ¿Cómo calcular esa proporción?

Un escriba egipcio del año 1.800 aC, afirmó en el Papiro Rhind, que la superficie de un círculo de 9 codos de diámetro era igual a la de un cuadrado de 8 codos de lado. Resolviendo esta ecuación...

Cálculo de PI por el Método Egipcio de Superficies

A pesar de lo dicho, que es lo que se explica en varias webs dedicadas a este tema, YO CREO que los egipcios sí debían conocer con más exactitud el valor de PI. Volveré a ello más adelante.

Los mesopotámicos, usando una rueda con una marca rodando por el suelo, calcularon un valor de 3+1/8=3'125

En dos libros de la Biblia, 2Cro 4:2 y 1Rey 7:23, escritos probablemente entre los siglos VIII y VI aC, se describe cómo Salomón hizo construir un estanque redondo de 10 codos de diámetro y 30 de circunferencia. Si los arquitectos judíos se hubieran molestado en medirlo con una simple cuerda, hubieran visto que la circunferencia medía 31'4 codos.

A partir de estas citas bíblicas, la Iglesia ha defendido durante siglos que PI valía 3. Y cualquiera que usara una cuerda y dedujera un valor distinto, podía ser condenado a la hoguera por hereje.

Tristes tiempos para la ciencia.

Fue Arquímedes quien imaginó un procedimiento geométrico y matemático para conseguir una mayor precisión, lo que le permitió calcular PI con varios decimales, y matemáticos posteriores encontraron diversos algoritmos para calcular centenares de decimales.

Y con la llegada de los ordenadores hemos podido conocer el valor de PI con Billones de decimales. Que no es que tengan mucha utilidad a efectos prácticos, pero sí para temas de criptografía.

La Medida de PI

Medida de PI con una Rueda y una CuerdaEs bastante fácil MEDIR el valor de PI. Sólo hace falta una rueda o un tablero perfectamente redondos y una cuerda.

Con la cuerda rodeamos el borde exterior de la rueda y la cortamos a su circunferencia exacta.

Después la colocamos sobre el diámetro y la cortamos, tantas veces como quepa. Así podremos hacerlo TRES veces. Y sobra un trozo.

Con este trozo recorremos el diámetro, desde un lado al opuesto. Habremos dado SIETE pasos. Es decir, que el trozo sobrante mide 1/7 de la longitud del diámetro.

El resultado, así de fácil, es que la circunferencia mide 3+1/7 la longitud del diámetro. O, lo que es lo mismo, 22/7. Haciendo el cálculo, 22/7=3'142856.

Es decir, si el diámetro de una circunferencia mide 7 unidades, de cualquier longitud, la circunferencia medirá 22 unidades.

El valor real de PI es en realidad de 3'141592, pero para haberlo hecho con métodos tan rudimentarios es una precisión muy alta, con menos de un 0'01% de error. A efectos prácticos, el valor 22/7 es más que suficiente para resolver casi cualquier problema que se nos pueda presentar en la vida cotidiana.

Casi ningún historiador sugiere que los egipcios conocieran este valor, 22/7, pero en la pirámide de Keops, construida en el 2.600 aC podemos encontrar esa proporción. La suma de la longitud de DOS lados de la base miden 22/7 de su altura.

¿Fue casualidad? Yo creo que no. Creo que los arquitectos egipcios utilizaban el valor 22/7 para calcular las longitudes de circunferencias, pero cuando gentes menos versadas en matemáticas, campesinos o tejedores, tenían que medir superficies usaban una equivalencia que fuera más fácil de calcular para ellos.

Las Fórmulas de Cálculo de Pi

El Método de Arquímedes es bastante simple. Dado que una circunferencia es igual al perímetro de un polígono regular de infinitos lados, pero no podemos operar con infinitos, basta usar polígonos con muchos lados, mientras más mejor. Inicialmente Arquímedes hizo los cálculos sólo para un polígono inscrito. Más adelante hizo también el cálculo para los polígonos circunscritos y sacó la media entre ambos, con lo que consiguió una mayor precisión en sus medidas.

Hallar la longitud de un lado, dependiendo del número de lados, es bastante fácil usando trigonometría. Los 360º de un círculo se dividen entre el número de lados y tendremos el ángulo que forma cada lado desde el centro del polígono. Como se trata de un triángulo isósceles, dividimos el ángulo entre 2 y tendremos dos triángulos rectángulos. Basta tratar con uno de ellos para hacer todos los cálculos.

Trigonometría BásicaPara facilitar los cálculos, asumimos que la circunferencia en la que se inscribe el polígono tiene un radio de 1. Así, la longitud de BC, el cateto opuesto (medio lado del polígono inscrito) es igual al Seno del ángulo.

El lado del polígono valdrá el doble, y para calcular el perímetro total sólo hay que multiplicarlo por el número de lados.

Así conseguimos el perímetro del polígono interior.

Para conseguir el perímetro del polígono exterior procedemos de la misma forma, pero teniendo en cuenta que el radio no será 1, sino la Secante del ángulo, y la mitad del lado del polígono medirá la Tangente del ángulo.

De la misma forma en que calculamos el perímetro de ambos polígonos, también podemos calcular sus superficies, contando con que éstas serán iguales al Perímetro por Apotema (AC ó AD) partido por dos.

Por ambos métodos, Perímetros y Superficies, se consigue una aproximación bastante significativa al valor de Pi, y ésta es más exacta mientras mayor sea el número de lados.

NOTA: Para quien quiera usar estas fórmulas en un programa de JavaScript, tened en cuenta que en este lenguaje no existe la función Secante. Para calcular la longitud AE deberemos usar su equivalente: 1/cos(a)

Espero que os haya resultado interesante.

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