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Calcular los Datos Orbitales de dos cuerpos en el espacio, a partir de sus masas y su distancia

Creada13-01-2020
Modificada13-01-2020
Total Visitas1
Enero1

Calculadora de Órbitas Planetarias

Fuerza Gravitatoria

Copiar datos de
Masa 1 x10Kg
Masa 2 x10Kg
Distancia
Fuerza 9 Newtons

Órbita Masa 1

Aceleración 9
Velocidad 9
Duración 9

Órbita Masa 2

Aceleración 9
Velocidad 9
Baricentro 9

Con esta herramienta podemos calcular varios datos orbitales de dos cuerpos, entre ellos la velocidad de los planetas y el tiempo que necesitan para completar su órbita.

El programa requiere los siguientes datos:

Al principio del formulario hay un selector con el que podemos Copiar los datos específicos de los diversos planetas del Sistema Solar alrededor del Sol, o de la Luna alrededor de la Tierra. Inicialmente están puestos los datos de la Tierra alrededor del Sol.

La Masa 1 y la Masa 2 son las masas de los objetos implicados, que pueden ser un planeta alrededor del Sol o un satélite, natural o artificial, alrededor de un planeta. O cualquier objeto que orbite alrededor de otro.

Podemos indicar cualesquiera otras cantidades en Enteros, Decimales o Notación Exponencial.

La Distancia que separa ambas masas se indica para órbitas planetarias en Gigámetros, para la órbita de la Luna en Megámetros. Podemos usar unidades más pequeñas o grandes.

A partir de estos datos calculamos la Fuerza Gravitatoria ejercida entre ellos. En el caso de la Tierra y el Sol es de 35.000 Trillones de Newtons.

Esa fuerza, aplicada a la Tierra, le impone una Aceleración de 6 mm/s², que haría que la Tierra cayera sobre el Sol al cabo de varios meses. Para evitarlo, la Tierra debe orbitar al Sol a una Velocidad de 30 Km/s, suficiente para que la Fuerza Centrífuga se compense con la Fuerza Gravitatoria y quede a una distancia estable.

A esa velocidad, la Órbita de la Tierra tendrá una Duración de 1 año.

Pero la Fuerza es mutua, y no sólo afecta a la Tierra, sino también al Sol. Al ser una masa mucho más grande, la misma fuerza genera una Aceleración muy inferior, menos de 2 centésimas de la millonésima parte de un metro. En un año el Sol apenas tiene tiempo de alcanzar una Velocidad de 9 cm/s trazando una elipse alrededor del Baricentro, situado a 450 Km del centro del Sol.

El Movimiento del Sol alrededor del Baricentro provocado por la Tierra o incluso por planetas más grandes, como Júpiter, es muy pequeño y muy lento, totalmente inapreciable a simple vista, pero puede ser medido por observatorios de muy alta precisión.

Las masas de los planetas, la Luna y el Sol han sido extraídos de Wikipedia. También el radio orbital medio de cada uno de ellos, pero hay que tener en cuenta los problemas planteados por la precisión de los datos, como veréis un par de capítulos más abajo.

Cálculos Orbitales

El primer valor que calculamos es la fuerza de atracción entre ambas masas. Para ello usamos la Fórmula de la Gravedad de Newton:

Fórmula de la Fuerza de Gravedad

donde M y m son las masas de los dos cuerpos, d es la distancia entre ellos y G es la constante de Gravitación Universal, 6'674x10-11.

El resultado se dará en Newtons.

Para que un cuerpo esté en órbita estable, su fuerza centrífuga debe ser igual a la fuerza de atracción.

Como la Fuerza Centrífuga es

Fórmula de la Fuerza Centrífuga

tenemos que la Velocidad será

Velocidad a partir de la Fuerza Centrífuga

La Velocidad se indicará en m/s ó en Km/s.

A partir de la Velocidad calculamos la Duración de la órbita. El Tiempo se calcula en segundos, pero en pantalla se muestra desglosado en años, días, horas, minutos y segundos.

Y el Baricentro se calcula con la fórmula

Distancia al Baricentro de dos cuerpos en Órbita

Problemas de Precisión

Si los datos se introducen con total precisión, la velocidad y la duración de la órbita es exacta, pero no disponemos de los datos con total precisión y los resultados pueden variar de la realidad. La masa de la Tierra, por ejemplo, es de 6 Cuatrillones de Kg. El Sol tiene una masa de 2 Quintillones de Kg. Redondeando. Si quisiéramos total exactitud tendríamos que conocer las 25 y las 31 cifras exactas. Pero sólo disponemos de unas 5 ó 6 cifras, por lo que todo lo demás serán redondeos y aproximaciones.

Igual ocurre con las Distancias. Las distancias a los planetas se suelen indicar en Gigámetros (Miles de Millones de Metros, o Millones de Km), y se redondean al entero más cercano. En la Tierra, por ejemplo, si indicamos una distancia al Sol redondeada a 150 Gm, como es lo habitual, daría como resultado 1 año, 1 día, 16 horas... lo que evidentemente no es correcto.

Aún con una precisión de tres decimales, 149'543 Gm, el resultado sería de 1 año y 1 minuto. Para que el total sea exactamente de 1 año, he indicado la distancia con seis decimales, 149'542775 Gm. Pero no significa que esa sea la distancia real. Tened en cuenta que las masas de la Tierra y el Sol están MUY redondeadas, con sólo cinco cifras significativas y el resto una sucesión de ceros. Es imposible que con masas aproximadas consigamos calcular una distancia exacta.

Dado que la duración de las órbitas planetarias SÍ es perfectamente conocida, he ajustado las distancias orbitales de los principales planetas, hasta Saturno, con los decimales necesarios para que el resultado sea correcto hasta el segundo.

Aún así, tened en cuenta que el cálculo lo realizo sobre órbitas circulares, y en la realidad los planetas no siguen órbitas circulares sino elípticas, con más o menos excentricidad, y las distancias de los planetas al Sol varían de forma apreciable a lo largo de su órbita.

La distancia de la Tierra al Sol, por ejemplo, varía entre 147 Gm el 3 de Enero y 152 Gm el 4 de Julio. Y la distancia de la Luna a la Tierra varía aún más, entre 356 y 406 Mm.

Problemas de Precesión

Precesión de los Ápsides de la Órbita

Por último, un factor más que afecta a la duración de las órbitas, es que no son perfectamente regulares, sino que sufren diversas variaciones gravitatorias. Entre estas variaciones podemos destacar la Precesión de los Ápsides.

La duración de la órbita de la Tierra alrededor del Sol se suele medir con respecto a las estrellas, la Órbita Sideral. Pero en realidad la órbita es una elipse.

Una elipse en la que podemos distinguir el Afelio, el punto más lejano al Sol, y el Perihelio, el más cercano. Debido a la influencia gravitatoria de los demás cuerpos del Sistema Solar, el afelio se produce cada año unos minutos antes de cumplirse el año exacto.

El afelio de la Tierra va precediendo cada año unos 4'7 minutos, y da la vuelta completa al cabo de 112.000 años. Si el año lo midiésemos como el tiempo transcurrido entre dos afelios, duraría 4'7 minutos menos que el año sideral, medido con respecto a las estrellas.

La Importancia de la Masa de la Tierra

Un dato curioso que podéis observar en este programa es que al calcular los datos orbitales de la Tierra alrededor del Sol, la Masa de la Tierra no importa.

Si queréis podéis cambiar la masa de la Tierra, sustituirla por un satélite de 10 Toneladas o por una piedra de 1 Kg. La fuerza de atracción se reducirá en la proporción adecuada, pero la velocidad y la duración de la órbita de la Tierra no experimentarán ningún cambio.

Pero sí lo harán los datos referidos al Baricentro y los datos orbitales del Sol.

La Doble Órbita de Dos Cuerpos

La Tierra orbita en torno al Sol... y el Sol en torno a la Tierra.

Cuando dos cuerpos están en el espacio a una distancia y velocidades suficientes para estar en órbita, la fuerza de atracción entre ambos es mutua y afecta a ambos.

Si los dos cuerpos tuvieran la misma masa, ambos seguirían la misma órbita, del mismo tamaño, a la misma velocidad y con la misma duración.

Dos Órbitas alrededor del BaricentroMientras mayor sea la diferencia entre sus masas, el cuerpo del más masivo seguiría una órbita más pequeña, también con la misma duración pero a una velocidad más pequeña.

Y ambas órbitas serían paralelas y concéntricas. El punto central de las dos órbitas es el Baricentro.

En el caso de la Tierra y el Sol, éste no parece experimentar esta órbita ya que la dirección del Sol hacia la Tierra va cambiando a lo largo del año y eso hace que la órbita del Sol sea muy pequeña.

Pequeña pero apreciable.

De hecho, el Baricentro del sistema Tierra-Sol se encuentra dentro de la misma masa solar, a apenas 450 Km del centro del Sol. Si pudiésemos ver el Sol desde el Norte del Sistema Solar, veríamos que el Sol no orbita, pero sí se bambolea unos 900 Km a lo largo del año.

El Sol baila con todos los planetas, pero tiene un favorito: Júpiter. El planeta más grande del Sistema Solar hace que el Baricentro Sol-Júpiter esté a 741 Megámetros, algo por encima de la superficie del Sol, que está a 695 Mm de su centro.

El Baricentro del sistema Tierra-Luna no llega a estar fuera del planeta, sino a 4.660 Km del centro de la Tierra, a unos 1.700 Km bajo el suelo.

El otro único Baricentro, que sepamos, que está fuera de un cuerpo es el del sistema Plutón-Caronte. Con masas respectivas de 12'5e21 y 1'52e21 Kg, a una distancia de 19'57 Mm, el Baricentro está a 2'12 Mm, casi 1.000 Km por encima de la superficie de Plutón.

La Órbita Inversa y la Búsqueda de Exoplanetas

Pongamos un caso muy concreto: Copiad los datos de la Luna y cambiad la distancia hasta 150 Gm de la Tierra.

La Luna orbitaría la Tierra a 51'6 m/s completando su órbita en 580 años.

Esa sería la órbita de la Luna alrededor de la Tierra si estuviera a la distancia a la que está el Sol, y no hubiera un sol ni otros planetas perturbando su órbita.

Como ya vimos, no importa cual sea la masa del satélite, la órbita durará lo mismo ya se trate de 1 Kg, Mil Toneladas o trillones de Kg.

¿Y si tuviera la masa del Sol?

Pues lo mismo.

Si por alguna extraña razón la Tierra permaneciera inamovible, sin moverse de su posición, el satélite que esté a 150 Gm, pese lo que pese, aunque tenga la masa del Sol, debería orbitar alrededor de la Tierra en 580 años, viajando a la velocidad de 51 m/s.

Ahora bien, la atracción de la Tierra sobre un objeto situado a 150 Gm de distancia es tan pequeña que apenas podría imprimirle una aceleración de una cienmillonésima de m/s². Con esa aceleración hacen falta muchos años, casi 100, en alcanzar una velocidad de 51 m/s.

Pero la posición de la Tierra no es inamovible, no está fija en el espacio, sino que está orbitando en torno al Sol, y la fuerza que hace acelerar el Sol en dirección a la Tierra apenas tiene tiempo de acelerar unos pocos cm/s antes de verse desviada en la dirección opuesta.

De ahí que la velocidad orbital del Sol no alcance los 51 m/s. En los seis meses en los que la Tierra esté por un lado del Sol, éste apenas tendrá tiempo para cambiar su velocidad en unos 10 cm/s.

Eso con respecto a la Tierra. Un planeta más masivo, como Júpiter, haría que el Baricentro estuviera a 742 Megametros y que el Sol se desplazara, se bamboleara, a 12'5 m/s.

Es muy poco, son velocidades prácticamente inapreciables a simple vista, pero sí se pueden medir y confirmar con instrumentos de precisión, como los más modernos telescopios, espectroscopios, radiotelescopios y otros instrumentos de observación estelar, y aún mejor si estos observatorios están instalados en el espacio.

Midiendo esas pequeñas alteraciones en la posición y el movimiento de las estrellas podemos deducir si a su alrededor existen planetas masivos en los que tal vez sea posible la Vida.

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